Занимательная механика

Пушка на Луне

Задача

Артиллерийское орудие сообщает снаряду на Земле начальную скорость 900 м/с. Перенесите его мысленно на Луну, где все тела становятся в 6 раз легче. С какой скоростью снаряд покинет там это орудие? (Различие, обусловленное отсутствием на Луне атмосферы, оставим без внимания.)

Решение

На вопрос этой задачи часто отвечают, что так как сила взрыва на Земле и на Луне одинакова, а действовать на Луне приходится ей на вшестеро более лёгкий снаряд, то сообщённая скорость должна быть там в 6 раз больше, чем на Земле: 900 ? 6 = 5400 м/с. Снаряд вылетит на Луне со скоростью 5,4 км/с.

Подобный ответ при кажущемся его правдоподобии совершенно неверен.

Между силой, ускорением и весом вовсе не существует той связи, из какой исходит приведённое рассуждение. Формула механики, являющаяся математическим выражением второго закона Ньютона, связывает силу и ускорение с массой, а не с весом: f = ma. Но масса снаряда нисколько на Луне не изменилась: она там та же, что и на Земле; значит, и ускорение, сообщаемое снаряду силой взрыва, должно быть на Луне такое же, как и на Земле: а при одинаковых ускорениях и времени – одинаковы и скорости (согласно формуле v = at).

Итак, пушка на Луне выбросила бы снаряд точно с такой же начальной скоростью, как и на Земле. Другое дело, как далеко или как высоко залетел бы на Луне этот снаряд. В этом случае ослабление тяжести имеет уже существенное значение.

Например, высота отвесного подъёма снаряда, покинувшего на Луне пушку со скоростью 900 м/с, определится из формулы

которую мы находим в справочной табличке (с. 31). Так как ускорение силы тяжести на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле, т. е.

, то формула получает вид:

Отсюда пройденный снарядом отвесный путь

На Земле же (при отсутствии атмосферы):

Значит, на Луне пушка закинула бы ядро в 6 раз выше, чем на Земле (сопротивление воздуха мы не принимали во внимание), несмотря на то что начальная скорость снаряда в обоих случаях одинакова.

Наган на дне океана

Для этой задачи взята также необычная обстановка – дно океана. Глубочайшее место океана, какое удалось промерить – Марианская впадина, – находится близ Антильских островов – 11 000 м.

Вообразите, что на этой глубине очутился наган и что заряд его не промок. Курок спущен, порох воспламенился. Вылетит ли пуля?

Вот сведения о нагане, необходимые для решения задачи: длина ствола 22 см, скорость пули при выходе из дула – 270 м/с, калибр (диаметр канала) – 7 мм, вес пули – 7 г.

Итак, выстрелит ли наган на дне океана?

Решение

Задача сводится к решению вопроса: какое давление на пулю больше – пороховых газов изнутри или воды океана снаружи? Последнее рассчитать несложно: каждые 10 м водяного столба давят с силой одной атмосферы, т. е. 1 кг на 1 см

. Следовательно, 11 000 м водяного столба окажут давление в 1100 атмосфер, или больше тонны на 1 см

.

Рис. 11. Выстрелит ли наган на дне океана?

Теперь определим давление пороховых газов. Прежде всего вычислим силу, движущую пулю. Для этого найдём среднее ускорение движения пули в стволе (принимая это движение за равномерно-ускоренное). Отыскиваем в табличке соотношение

v

= 2aS,

где v – скорость пули у дульного обреза, а – искомое ускорение, S – длина пути, пройденного пулей под непосредственным давлением газов, иными словами – длина ствола. Подставив v = 270 м = 27 000 см/с, S = 22 см, имеем

27 000

= 2а ? 22,

ускорение а = 16 500 000 см/с

= 165 км/с

.

Огромная величина ускорения (среднего) – 165 км/с

– не должна нас удивлять, ведь пуля проходит путь по каналу нагана в ничтожный промежуток времени, который тоже поучительно вычислить. Расчёт выполняем по формуле v = at:

27 000 = 16 500 000/

откуда время

Мы видим, что за 600-ю долю секунды скорость пули должна возрасти от 0 до 270 м/с. Ясно, что за целую секунду прибавка скорости, так стремительно нарастающей, должна быть огромна.

Но вернёмся к расчёту давления. Узнав величину ускорения пули (вес которой, напомним, 7 г), мы легко вычислим действующую на неё силу, применив формулу f = ma:

7 ? 16 500 000 = 115 500 000 дин.

В ньютоне круглым счётом миллион дин (дина – около миллиграмма ? м/с

), значит, на пулю действует сила в 115 Н. Чтобы вычислить давление в килограммах на 1 см

, надо знать, по какой площади эта сила распределяется. Площадь равна поперечному сечению канала револьвера (диаметр канала 7 мм = 0,7 см):

? ? 3,14 ? 0,7

= 0,38 см

.

Значит, на 1 см

приходится давление в

115: 0,38 = около 300 Н/см

.