Квантовый ум. Грань между физикой и психологией

Следующая великая эра пробуждения человеческого интеллекта вполне может создать метод понимания качественного содержания уравнений. Сегодня мы этого не можем.

    Ричард Фейнман, лауреат Нобелевской премии по физике

Продолжая наше путешествие через числовые поля, мы обнаружили, что числа описывают взаимодействия осознания между наблюдателем и вещами, которые он наблюдает, находятся ли эти вещи в его внешнем или внутреннем мире. В главе 6 мы изучали поля и видели, что все положительные и отрицательные числа вместе образуют поле, поскольку они имеют замыкание. Иными словами, вы можете складывать, вычитать, умножать и делить и по-прежнему оставаться в том же поле. Мы обнаружили, что математика описывает не только то, как можно считать внешние события, но и то, как наши умы усиливают и углубляют события, создают пространство и развертывают переживания.

В этой главе нам предстоит добавить к полю действительных чисел еще одно измерение – измерение мнимых чисел. Для некоторых читателей это будет означать первую встречу с разновидностью чисел, о которой они раньше никогда не слышали, – с комплексными числами, которые представляют собой сочетание действительных и мнимых чисел.

Мнимые числа

Если бы мы жили несколько тысяч лет тому назад, мы бы, несомненно, предсказали открытие мнимых чисел, поскольку действительные числа – это лишь принадлежащие к общепринятой реальности варианты того, что мы переживаем, когда наблюдаем и считаем. Если бы мы жили в далеком прошлом и понимали, что числа символизируют не только явные процессы, но и тонкие процессы, которые не выявляются непосредственно, мы бы, вероятно, подумали, что нам необходимо новое описание событий, которое включает в себя действительные числа, а также что-то наподобие «воображаемых» чисел, чтобы описывать аспекты событий, относящиеся как к ОР, так и к НОР.

После открытия мнимых чисел в XVI и XVII вв. оказалось, что эти числа не настолько мнимые, как первоначально думали математики, однако эти числа все-таки дают нам понимание НОР-аспектов природы и, конечно, нашей собственной природы. Более того, нам очень важно исследовать эти числа, так как они образуют основу описания квантовой физики и теории относительности. Современная физика не может существовать без мнимых чисел.

Числа и числовые системы постепенно развивались на протяжении многих тысячелетий. Сперва появились идеи счета и чисел, затем такие современные понятия, как действительные положительные и отрицательные числа, ноль и дроби. За ними последовали рациональные и иррациональные числа

.

Как видно из терминов «рациональный» и «иррациональный», открытие чисел с самого начала осложнялось вопросом о том, откуда происходят эти удивительные символы и что они собой представляют. Когда в эпоху Возрождения Готфрид Лейбниц и другие разрабатывали мнимые числа для решения проблем в математике, понятие мнимых чисел также считалось бесплотным. Мнимые числа сравнивали с духами: они присутствовали, но их было невозможно увидеть.

Позвольте мне познакомить вас с мнимыми числами. Вспомните, что ряд действительных положительных чисел 1, 2, 3, 4… не был достаточно большим числовым полем, чтобы включать в себя вычитание, поскольку в поле положительных чисел нельзя было найти такие числа, как 5 – 7 (= -2). Если мы добавляем отрицательные числа, то имеем более полное числовое поле: -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 и т. д. На этом большем поле мы теперь можем играть с вычитанием, а также сложением, умножением и делением. Отрицательные числа добавили к положительным числам новое измерение.

Вскоре стало понятно, что в дополнение к действительным и отрицательным числам необходимо новое измерение. Почему? Потому что теперь можно было складывать, вычитать и делить и по-прежнему находиться в числовом поле, но было нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа и оставаться в этом поле. Никто не знал, что представляет собой квадратный корень из -4. Математики знали, что квадратный корень из 4 – это число 2 (то есть V4 = 2), но что такое квадратный корень из -4? Какое число, умноженное на само себя, дает -4? Чтобы решить эту проблему, математики думали о добавлении мнимых чисел к действительным числам.

Формальный способ записи мнимых чисел состоит в помещении после действительного числа буквы i[12 - То есть первой буквы прилагательного imaginary, означающего «воображаемый» или «мнимый». (Примеч. пер.)]. Например, если действительное число 4 написать как 4i, то оно будет обозначать мнимое число.

Буква i имеет следующий смысл: она символизирует квадратный корень из -1 (то есть ? -1). По-другому можно сказать, что квадратный корень из -1 сокращенно обозначается буквой i. Таким образом, ? -1 = i.

Например, если b – действительное число, тогда соответствующее ему мнимое число можно записать как ib, что является сокращенной формой (? -1)b.

Первые математики, которые разрабатывали и использовали мнимые числа в XVII в., полагали, что мнимые числа нереальны и невозможны. Как может отрицательное число иметь квадратный корень? Храбрецом, который первым опубликовал формулу, включавшую в себя таинственные мнимые числа, был итальянский математик XVI в. Джером Кардан. Однако он испытывал большие сомнения в отношении своей работы и называл числа бессмысленными, фиктивными и мнимыми

.

Что же в действительности представляют собой мнимые числа? Вспомните, что действительные числа кодируют, но маргинализируют переживания НОР Многие из конкретных и наблюдаемых свойств вещей, которые мы считаем, не учитываются действием простого счета. Из-за процесса маргинализации, действительных чисел никогда не будет достаточно для полного описания событий, поэтому в математике, наряду с общепринятыми количествами, вроде 1, 2 и 3, нам требуется нечто вроде воображаемых или необщепринятых качеств. Будучи полезными, мнимые числа также указывают назад, на магические качества, которые люди нередко ассоциируют с числами.

Магия чисел

Сегодня, хотя большинство людей мало знают о свойствах чисел, относящихся к необщепринятой реальности, многие до сих пор верят, как и столетия назад, что числа обладают магическими свойствами. Точно так же, как мы используем особые геометрии, чтобы строить здания, например, с высокими остроконечными крышами, а также кресты, звезды и круги, чтобы представлять духовные идеи, древние и некоторые современные люди верили в магическую силу отдельных чисел. Например, считалось, что число 1 представляет единение, многие люди отождествляли число 2 с дьяволом или «двуличным», число 3 с судьбой (или Троицей в христианском мире), число 4 с целостностью и так далее

.

Эти верования отчасти связаны с количественными свойствами чисел. Например, число 1 не становится больше при умножении на само себя и не становится меньше при делении на себя. Вывод: число 1 обладает богоподобными свойствами. Оно является вечным, неизменным. Оно «одно единственное». Я говорил, что число 1 представляет сам процесс, нечто всегда присутствующее, постоянное как неизбежность изменения. Один – это первое простое число.

Простое число не имеет сомножителей, кроме самого себя и единицы. Например, число 6 не является простым, так как оно делится на 2 и 3 (или может быть получено умножением 2 х 3). То есть число 6 имеет сомножители (или делители), отличающиеся от него самого, а именно 2 и 3. Другие простые числа, кроме единицы, – это 2, 3, 5, 7, 11 и так далее и -2, -3, -5 и так далее.

Подумаем о числе 2. Это простое число, поскольку оно может быть разбито только на множители 1 х 2. Число два интересно тем, что оно дает одно и то же число при сложении с собой и умножении на себя, то есть 2 + 2 = 2 х 2 = 4. Легко видеть как можно проецировать на число 2 всевозможные магические или какие-то еще удивительные качества. Другие числа при сложении с собой дают другие результаты, чем при умножении на себя. Но не двойка

2 + 2 = 2 х 2!

Три – это простое число, которое представляет собой сумму предшествующих чисел (3 = 1 + 2).

Четыре – это первое непростое число, первый квадрат.

Многие отдельные люди и целые культуры верили, что числовые качества дат рождения и букв имен – это не просто случайности, а содержательные события, наполненные магическим значением. Например, если вы родились второго января, смысл вашей жизни будет связан с числами 2 и 1. Если ваше имя – Эми (AMY), то ваша жизнь будет связана с числовыми эквивалентами букв A, M и Y, то есть с числами 1, 8 и 25 и их качествами.

Для многих людей эти воображаемые качества чисел полны смысла, однако в нашей культуре не существует общепринятого мнения относительно символического смысла чисел. Некоторые люди полагают, что они вообще не имеют никакого смысла. Таким образом, числа имеют как общепринятые, так и необщепринятые аспекты. Ученые сосредоточиваются только на количественном аспекте чисел, ориентированном на общепринятую реальность, и полагают, что их необщепринятые качества не имеют отношения к пониманию реальности. На самом деле, ученые всегда надеялись, что числа в целом, независимо от того, как их называют, образуют логичную, неприступную систему, не допускающую иррациональных несовместимостей.

В 1931 г. Логик Курт Гёдель доказал (или напомнил тем, кто забыл), что определения общепринятой реальности для чисел и формул не являются неопровержимыми и не могут использоваться для доказательства своей собственной обоснованности с помощью дедуктивного рассуждения. Гёдель показал, что в математике имеются неизбежные противоречия; некоторые утверждения невозможно ни доказать, ни опровергнуть

. Поэтому мы не можем быть уверены в том, что наука математика не ведет к противоречиям или что числа свободны от магии.

В таком случае арифметика не может быть свободной от противоречий. Можно было бы подозревать, что теорема Гёделя обескуражит ученых, надеявшихся разработать набор аксиом, из которых можно будет выводить все феномены

. На мой взгляд, дело обстоит противоположным образом. Сегодня большинство ученых действуют так, как будто можно открыть окончательную теорему, из которой можно будет приемлемым образом выводить математические описания всех физических событий.

Единственное известное мне следствие теоремы Гёделя в психологии – это неписанное правило в умах некоторых терапевтов, таких как я сам, что человеческая раса непоследовательна и противоречива. Верно, что арифметические операции придают сновидениям и измененным состояниям сознания больше логики, чем кажется на первый взгляд, но эта логика – в большей степени общий принцип, нежели неизменный закон.

Первичные и вторичные качества материи

Примерно в тот же период, когда были открыты или придуманы мнимые числа, Галилей в 1623 г. провел различие между «первичными» и «вторичными» качествами материи

. Он называл первичными качествами материи те, которые можно измерять и описывать с помощью действительных чисел (например, 4 килограмма, 10 километров, 60 секунд). Согласно Галилею вторичные качества (например, любовь или цвет) не могут быть сведены к объективным измерениям и, следовательно, находятся вне сферы науки.

С точки зрения нашего теперешнего обсуждения представляется, что первичные и вторичные качества, о которых говорил Г алилей, сходны с тем, как я использую термины «общепринятая» и «необщепринятая реальность», и с тем, что имеет в виду Альберт Эйнштейн в цитате из его книги по теории относительности, приводившейся в первой главе:

… определенные чувственные восприятия разных людей соответствуют друг другу, в то время как для других чувственных восприятий подобное соответствие установить невозможно

.

Галилей жил в поворотный момент в истории западной цивилизации, во времена, когда происходило отделение количественных характеристик материи от чувств по отношению к ней. История западной цивилизации показывает, что наука шла в направлении, предсказанном Галилеем, и отвергала качества переживаний НОР. Тогда ученые решили, и считают так и поныне, что мнимые числа – это нечто вроде галилеевых вторичных качеств, они не имеют непосредственного физического смысла и не входят в сферу науки.

Это сопротивление, отчасти, было обусловлено тем, что в эпоху Возрождения росло разделение между материей и душой, между физической и нефизической сферами. Мнимые числа появились как раз тогда, когда физика и математика отчаянно пытались отделиться от религии и таинств алхимии, бывшей сочетанием химии и медитации, психологии и физики. Это разделение было чрезвычайно полезным, но теперь настало время для воссоединения. История мнимых чисел подсказывает, как будет происходить это воссоединение.

Математика мнимых чисел

История развития мнимых чисел весьма интересна, так как она следует по пути постоянных (и не вполне успешных) попыток избавиться от «вторичных качеств» природы. В XVII в. математики Джон Уоллис (1616-1703) и Готфрид Лейбниц (1646-1716), наряду с другими, обдумывали проблему квадратного корня отрицательных чисел. Они знали, что если взять квадрат с площадью, равной 1, то квадратный корень тоже будет равен 1.

Давайте еще раз подумаем о мнимых числах. Эти математики знали, что если нужно найти квадратный корень числа 4, это будет 2. Почему? Потому что, как я говорил ранее, если вы возводите число 2 в квадрат, то получается 4, то есть 2 х 2 = 4.

Что, умноженное само на себя, дало бы в результате отрицательное число? Ответа никто не знал. Поэтому математики пришли к выводу, что в их поле действительных чисел должно чего-то не хватать, так как в этом поле не было ничего такого, что давало бы им квадратные корни отрицательных чисел. Они знали, что им нужен новый вид числового поля, которое было бы расширенным вариантом поля действительных чисел, так как ничто в поле действительных чисел не вело к квадратному корню -1! Докажите это сами.

Квадратный корень из + 9 равен 3.

из +3 равен 1,732…

из +2 равен 1, 414.

из +1 равен 1,000.