Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

, then for p bigger than max of a+b,a·b, a+b and a·b coincide in Z and in F

.", so now you are saying that this is the matter of definition.

My first remark is technical. The problem deals only with rings and has nothing to do with division. So, it is not necessary to consider the field F

and only primes. The problem is whether Z is the limit of rings R

=(0,1,…p-1) (with operations modulo p) when p??.

Again, in mathematics, mathematical statements should be formulated unambiguously such that different interpretations should be excluded. For this reason the words “for any” and “there exist” are often used in mathematical statements. However, saying about a and b you are not using those words, and one can only guess what you mean. Consider you “definition” “So by definition, if a,b are in F

, then for p bigger than max of a+b,a·b, a+b and a·b coincide in Z and in F

.” literally. For example, if a=0 and b=0 then for p > 0, a+b and a·b coincide in Z and in F

. Or if a<10 and b<10 then for p > 100, a+b and a·b coincide in Z and in F

.”. So your “definition” is indeed obvious.

I guess that probably you meant something like this: for any p

there exists a set S such that for any a+b?S,a·b ?S, a+b and a·b coincide in Z and in F

for any p >= p

, and card(S)?? when p

??.

However, even if my guess is correct, this still cannot be a correct definition that R

?Z when p??. The definition should be such that not only for two elements from S their sum and product coincide in Z and in R

but that it is possible to find a number n such that for any m<=n the result of any m operations of multiplication, summation or subtraction of elements from S should be the same in Z and in R

, and that n?? when p??.

The exact formulation of the definition is given in my paper, and I prove that with this definition indeed R

?Z when p??. As I said, the definition should be to some extent analogous to the definition that the sequence (a

) ?? when n??: for any M>0 there exists n

such that a

>=M for any n>= n

.

I asked several mathematicians to give me a reference where this is proved but nobody gave such a reference. The response of some of them was analogous to yours: this is obvious. Then I asked that if this the case then why in mathematical textbooks this is not even mentioned and standard math starts from Z from the beginning, but again no response. As I wrote, they don’t care that standard math has foundational problems (as follows e.g. from G?del’s incompleteness theorems and other considerations). But when I asked Prof. Zelmanov (who is the Fields Medal laureate) he did not say that this is obvious and advised me to look at Terence Tao’s blog where ultraproducts are considered. In my paper I thank Prof. Zelmanov for his advice and refer to the blog.

Technically indeed it is possible to prove that R

?Z follows from the results on ultraproducts although in ultraproducts they consider only fields and their goal is to use finite fields for proving some features of fields of characteristic zero. Nevertheless, this is not a direct proof, and the construction is rather sophisticated.

In summary, I think that, with the probability 99.99 %, in the literature there is no direct proof that R

?Z when p?? and so my proof is new. Let me note that my paper contains not only this result: I explain that this result is the first step in proving that finite math is more fundamental than standard one: the latter is a special degenerated case of the former in the formal limit p??.

However, it seems obvious that you even did not try to carefully read my proof and other results of the paper. You noticed that I prove that R

?Z, immediately (within minutes) decided that this is obvious (as you say, even without the machinery of ultraproducts) and immediately wrote a rejection. I am amazed that the attitude to my paper at such a prestigious journal was on such a level.

For me it is not a great tragedy that my paper will not be published in NDJFL. I have no doubt that the results are fundamental, they will be acknowledged sooner or later and published elsewhere. However, I treat such an attitude to me as disgraceful from the professional point of view. Such an attitude in fact means that you treat me as unprofessional who submitted to NDJFL a junk which does not deserve consideration.

Of course you have a right to have such an opinion. However, if you think that your attitude was a mistake I would be grateful if you tell me this and will be fully satisfied. I understand that we are only people, everybody makes mistakes, you are very busy handling such a journal, you have to look at many papers and probably some of them are indeed junk, so probably mistakes in your work are inevitable. However, decent people acknowledge that they make mistakes when this becomes obvious.

В этом ответе вначале популярно объясняю, что его объяснения не имеют смысла. Пишу, что был очень удивлен, что в таком престижном журнале моя статья была рассмотрена на таком уровне.

В конце пишу, что для меня главное – не то, что статья не будет опубликована в его журнале, а то, что отношение к статье было позорным. Как будто я полностью не профессионален и послал в журнал мусор на который не стоит тратить время. Пишу, что все мы люди и ошибаемся, он очень занят с журналом, ему надо смотреть много статей и, наверное, часть из них мусор, так что, наверное, в его работе ошибок не избежать. Но порядочные люди признают, что делают ошибки когда это выясняется. И если он признает, что ошибся, то я буду удовлетворен.

По моим понятиям, любой ученый и тем более математик должен признать, что он неправ когда ему это объясняют. Допустим, что он решил, что мой ответ не очень вежливый. Но, по моим понятиям, когда главному редактору объясняют, что отношение к статье и автору было хамским и что он написал ответ совершенно неправильный с математической точки зрения, то любой порядочный ученый должен извиниться и, по меньшей мере сказать, что все будет пересмотрено. Я на этом не настаивал, а всего лишь попросил, чтобы он признал ошибку и что тогда я буду полностью удовлетворен. Но он даже не ответил, что показывает, что его какие-либо моральные проблемы не волнуют.

Еще одна попытка: Israel Journal of Mathematics. Первый ответ был обычным:

Unfortunately your paper is out of the scope of the Israel Journal of Mathematics. Therefore we cannot consider it for publication. we do thank you for considering our journal.

Sincerely yours,

    Tamar Ziegler
    Editor in Chief
    Israel Journal of Mathematics

Т.е., отклоняют статью, якобы, потому что она не в теме журнала. Но описание редакционной политики журнала такое: “The Israel Journal of Mathematics contains high-quality research papers on {\bf all} aspects of mathematics and theoretical computer science”. Т. е. пишут, что журнал рассматривает статьи высокого качества по всем темам математики. Поэтому статью нельзя отклонить с предлогом, что она не по теме; единственной причиной отклонения может быть только то что статья низкого качества. А это уже значит, что должна быть рецензия, где показано, что статья действительно низкого качества. Но когда я им это написал, то ответ был такой:

The Editorial Board had a look at your paper and decided that the Israel Journal of Mathematics is not the right place for it. Therefore we will not further consider the paper. This decision is final.

Т.е., теперь они говорят, что редколлегия смотрела и решила, что их журнал – неподходящее место для статьи. А почему – никаких объяснений. И еще предупреждают меня, что это решение окончательное, чтобы я их больше не беспокоил. И плевать они хотели на научную этику.

Попытка опубликовать статью в European Physics Journal H.

Первый ответ опять стандартный:

Dear Dr Lev,

Thank you very much for having submitted your manuscript entitled:

Analogy Between Finite Mathematics and Special Relativity to The European Physical Journal H.