Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики

Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики
Микаэль Лонэ

Красота математики
Наше восприятие мира обманчиво. Наука часто ставит под сомнение наши самые сокровенные убеждения. Математика дает нам мощный инструмент для понимания механизмов Вселенной. Она учит нас мыслить шире и понимать больше, а главное, незримо сопровождает в нашей повседневной жизни.

Автор книги – математик Микаэль Лонэ, популяризатор науки, создатель канала Micmaths (более 540 000 подписчиков), автор «Большого романа о математике», переведенного на 15 языков мира, в том числе на русский.

В формате PDF A4 сохранен издательский макет книги.

Микаэль Лонэ

Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики

LE THEOREME DU PARAPLUIE

O? l’art d’observer le monde dans le bon sens

Micka?l LAUNAY (Illustrations by Chloе Bouachour) © Flammarion, Paris, 2019

© Сысоева И., перевод на русский язык, 2022

© Оформление. ООО «Издательство «Эксмо», 2022

Введение

В 1980 году преподаватели из института математических исследований университета Гренобля предложили группе детей решить следующую загадку:

В лодке 26 овец и 10 коз; сколько лет капитану?

Странный вопрос. Какое отношение возраст капитана имеет к количеству овец и коз? Из почти двухсот опрошенных в возрасте от семи до восьми лет 75 % респондентов ответили без каких-либо сомнений. Многие просто сложили представленные числа и получили 36. Но, когда детям в возрасте от девяти до десяти лет предложили ту же загадку, большинство из них начали протестовать или даже отказались отвечать. Только 20 % ответили безоговорочно. За два года их критический настрой обострился. Эти дети стали проницательнее и начали сомневаться в смысле того, что они делают.

В их возрасте, должен признаться, я получал особое удовольствие от загадок-ловушек. Таких, которые заставляют мозг кипеть и которые, по сути, скорее шутки, чем математические задачки. Одна из моих любимых звучит так:

Оркестр из 50 музыкантов исполняет Симфонию № 9 Бетховена за 70 минут. За какое время оркестр из 100 музыкантов сыграет ту же симфонию?

Конечно, продолжительность симфонии не зависит от количества музыкантов, 70 минут так и останутся 70 минутами. Мне очень нравилась еще и эта загадка: что тяжелее: килограмм ваты или килограмм железа? Конечно, ни то, ни другое, поскольку они весят одинаково – килограмм.

Чего я не знал, так это того, что укрощение смысла вещей может привести гораздо дальше, чем я себе представлял. Чем дальше я продвигался, тем больше замечал тонкости в значении слов и пробелы в моем понимании мира. Конечно, взрослые уже не попадаются в те же ловушки, что и дети. Но было бы неверно полагать, что мы защищены от других заблуждений, подстерегающих нас. Наша интуиция может нас обмануть, а факты оказаться ложными. В свои 35 лет я могу сказать, что с самой начальной школы в моей жизни не было и года, чтобы я не осознавал, что ошибаюсь в том, что, как мне казалось, хорошо знаю.

Если мы хотим понять мир и окружающую нас действительность, то рискуем сбиться с толку. В глубине души великие ученые нашей истории мало чем отличались от детей, которые отказались назвать возраст капитана. Ученые сомневались в том, что у них перед глазами, и стремились увидеть больше. Они восставали против установленного порядка. Наука – замечательная почва для сомнений, а математика – один из самых мощных инструментов.

Заниматься математикой – как заглянуть за кулисы мира. Украдкой понаблюдать за гигантскими винтиками, которые вращают нашу Вселенную. Зрелище ослепительное, но и разрушительное. Реальность бросает вызов нашим чувствам и интуиции. Все оказывается не тем, чем нам представляется. Действительность переворачивает наши убеждения с ног на голову, а самые, казалось бы, очевидные вещи, сметает с доски. Самые безобидные детали способны скрывать великие тайны, а детские загадки иногда могут оказаться намного глубже.

Вот еще одна:

Если четыре курицы откладывают четыре яйца за четыре дня, то сколько яиц откладывают восемь куриц за восемь дней?

Я дам вам время на размышления, мы еще к ней вернемся. О чем я никогда и подумать не мог, так это о том, что эта загадка, которую я впервые услышал в десять лет, поможет мне понять самую известную формулу всех времен.

Поэтому, если вы согласитесь ненадолго со мной остаться, я предложу вам отправиться в путешествие. Нам могут повстречаться некоторые трудности, ведь нельзя изменить свое мышление по щелчку пальцев. На нашем пути попадутся сомнения, которые придется преодолеть, и появятся мысли, которые придется оставить созревать. Но не сдавайтесь – потраченные усилия будут вознаграждены тысячекратно, когда вас наконец осенит. На следующей странице начинается наше путешествие по математике, в котором мы откроем некоторые из самых красивых скрытых механизмов нашего мира. Поднимите на мгновение ваши глаза и оглядитесь: возможно, после нашего знакомства вы перестанете воспринимать мир, ваш мир, таким образом.

Часть I. Закон супермаркетов

Закон Бенфорда

Математические приключения иногда встречаются в самых безобидных местах.

Давайте начнем наше путешествие в супермаркете на углу, всего в шаге от вашего дома. В нем вы обычно делаете покупки – неважно, гигантский это торговый центр или деревенский мини-маркет; главное, чтобы там были самые разные товары первой необходимости, которые мы покупаем каждый день.

Обычный магазин. Вы бывали здесь уже сотни, может, даже тысячи раз. Ряды полок, проходы, ровный ритм считывания штрихкодов на кассах и клиенты, которые бродят вокруг, машинально хватая то бутылку молока, то консервную банку. Но сегодня мы ничего не покупаем. Мы наблюдаем.

Здесь спрятан один из самых интригующих математических самородков. Он всегда был тут – прямо у вас перед носом. И он даже не скрывается, вы видите его прямо сейчас. Небольшая аномалия. Пустяковая деталь, которая не привлекает внимания, тем не менее может вызвать подозрение у опытных наблюдателей. Достаньте блокнот или смартфон, нам он понадобится для заметок, и давайте начнем наше расследование.

Посмотрите на цены, выстроившиеся в ряд на полках. €2,30… €1,08… €12,49… €3,53… все эти числа кажутся совершенно случайными, если их быстро читать одно за другим. €1,81… €22,90… €0,64… цены варьируется от нескольких центов до нескольких десятков евро. Но мы не будем заострять внимание на деталях. Забудьте о запятых и сотых долях.

На каждом ценнике смотрите только на первую цифру, самую важную – она дает нам первое, приблизительное представление о цене. (Такие цифры в математике называют «значащими»).

Вот 530-граммовая банка консервированной брюссельской капусты за €1,54. Отметьте в вашем блокноте 1. Чуть дальше дезодорант, действующий 24 часа, за €3,53. Отметьте 3. 250 грамммов камамбера за €1,81. Еще одна 1 в вашем блокноте. Сковорода с антипригарным покрытием за €45,90 – здесь мы перевалили за десятку, но, несмотря ни на что, сосредоточиваемся только на первой цифре. Отмечаем 4. Пакет жареного арахиса за €0,74. В этот раз первая значащая цифра – 7.

Так, несколько минут блуждая по магазину, мы набрали цифры. 1 3 1 4 7 9 2 2 1 7 9 8 1 1 3 1 1 1 8 1 1 2 1 2 1 1 9 1 4 7 1 6 1 5 9 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 6…

Но отмеченные вами цифры вызывают смутное сомнение. Вам не кажется, что в этой череде что-то не так? Некий дисбаланс. Она преимущественно состоит из 1 и 2, перемежаясь то тут, то там 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Как будто мы, сами того не осознавая, обращали наше внимание на самые низкие цены. Так не пойдет.

Так что давайте поступим как добросовестные статистики. Оставим в стороне наши предубеждения и выберем систематический метод. Мы случайным образом укажем на несколько полок и выпишем значимые цифры со всех товаров без исключения. Да, это трудоемкая задача, но мы должны разобраться с ней до конца.

Через час страницы вашего блокнота покрыты рядами цифр. Пришло время подвести итоги. После подсчета вердикт не подлежит обжалованию, и тенденция подтвердилась. Вы перечислили цены на более чем тысячу товаров, и почти треть из них начинается с 1! Чуть больше четверти начинается с 2, и чем больше цифра, тем реже она встречается.

После компиляции мы пришли к следующим результатам[1 - Эти данные собраны автором в январе 2019 года, согласно описанному выше методу, на основе учета 1226 товаров. Результаты таковы: цифра 1 – 391 товар (31,9 %), цифра 2 – 315 (25,7 %), цифра 3 – 182 (14,8 %), цифра 4 – 108 (8,8 %), цифра 5 – 66 (5,4 %), цифра 6 – 50 (4,1 %), цифра 7 – 40 (3,3 %), цифра 8 – 30 (2,4 %), цифра 9 – 44 (3,6 %). — Здесь и далее примечания автора, если не указано иное.].

В этот раз мы не можем сослаться на случайность или предвзятый выбор товаров. У нас есть доказательства, а потому надо признать факт: первые цифры цен в супермаркете распределены неравномерно. Преобладают – со значительным отрывом – небольшие цифры.

Откуда этот дисбаланс? Вот вопрос, который я хотел бы вам задать. Какому закону супермаркетов, торговли или экономики подчиняются эти ценники, чтобы дать такое странное, такое неравномерное распределение первых цифр? Разве математика не должна относиться ко всем цифрам[2 - Формально формулировка «значение цифры» математически безграмотна: значение есть у числа, у цифры – нет. Цифра – способ записи числа. – Прим. ред.] одинаково – без предвзятости, без предпочтений, без фаворитов? И все же факты налицо и категорически утверждают обратное: в супермаркете у математики есть любимчики – цифры 1 и 2.

Мы провели наблюдение. Мы установили закономерность. Теперь нам остается только подумать над ней, проанализировать и разобраться. У нас есть факты, и мы должны провести расследование и сделать свои выводы.

В марте 1938 года американский инженер и физик Фрэнк Бенфорд опубликовал статью «Закон аномальных чисел» (The Law of Anomalous Numbers), в которой он проанализировал числовые данные, полученные из более чем двадцати тысяч источников различного происхождения. В его таблицах можно найти список длин рек из разных частей земного шара, население разных городов США, атомные массы известных элементов, числа, случайно наблюдаемые в газетах, или математические константы. И по всем этим данным Бенфорд делает тот же вывод, что и мы: первые цифры распределены неравномерно. Около 30 % проанализированных чисел начинаются с 1, 18 % – с 2, и чем больше цифра, тем реже она встречается; так, только 5 % чисел начинаются с 9.

Бенфорду не пришла в голову идея проверить свою статистику в магазине. Но согласитесь: его результаты удивительно похожи на наши. Конечно, есть некоторые различия в процентах, но в общих чертах совпадение поразительно.

Исследование Бенфорда показало, что собранные нами данные – далеко не единичный пример. Они характерны не только для супермаркетов, но вписываются в гораздо более широкую тенденцию. После 1938 года такое же распределение наблюдалось многими учеными во множестве необычных и разнообразных ситуаций.

Например, в демографии. Население 62 из 203 стран на планете Земля – или 30,5 % – записывается числом, которое начинается с цифры 1. Взять, к примеру, самую густонаселенную: Китай с населением 1,4 млрд человек. К этим 62 странам также относится Мексика с населением 122 млн человек, Сенегал с населением 13 млн или архипелаг Тувалу с населением 10 800. При этом лишь в 14 странах (6,9 %) запись числа населения начинается с цифры 9.

Вам предпочтительнее астрономия? Из восьми планет, вращающихся вокруг Солнца, у четырех запись длины экваториального диаметра[3 - Планеты Солнечной системы сплюснуты у полюсов, поэтому полярный диаметр у них меньше экваториального. – Прим. ред.] начинается с цифры 1. У Юпитера – 142 984 км, у Сатурна – 120 536, у Земли – 12 756, у Венеры – 12 104. Диаметр самого Солнца составляет 1 392 000 км. И если выборка из девяти небесных тел недостаточно полна, чтобы вас убедить, добавьте сюда же карликовые планеты, спутники, астероиды, а также кометы, и вы все равно придете к тому же выводу: превалирует цифра 1.

Как только мы начинаем обращать на это внимание, примеры сыплются дождем. Возьмите любой набор чисел в любом контексте, проанализируйте первые цифры, и увидите: закон Бенфорда работает. Этот статистический закон совсем не исключительный, он, похоже, совершенно естественный и повсеместный. И, как ни парадоксально, равномерного[4 - В статистике его также называют «справедливым». — Прим. ред.] распределения цифр, которое могло бы показаться нам более интуитивно-вероятным, на практике просто не существует.

Здесь речь идет уже не о любопытном свойстве цен в супермаркетах. То, что мы обнаружили, – это настоящий закон, который регулирует не только многие области человеческой деятельности, но и саму природу. Понять этот закон – значит понять нечто фундаментальное об устройстве нашего мира.