Философия. Античные мыслители

Обратим внимание на два свидетельства о пифагорейской космологии. Утверждается, что Пифагор первым назвал Вселенную «космосом», имея в виду порядок, который ему присущ[38 - Псевдо-Плутарх. Мнения философов. 2.1.]. Аристотель же описывает пифагорейское представление о космосе так:

Пифагорейцы также признавали существование пустоты и утверждали, что она проникает в Небо [=космос] из [окружающего] бесконечного (???????), как если бы [Небо] вдыхало пневму и пустоту, которая разграничивает физические сущности (??????), как если бы пустота была разделением и разграничением смежных [тел]. Прежде всего, это наблюдается в числах, так как пустота разграничивает [их, сообщая] им самобытность (?????) (Аристотель. Физика. ?. 6. 213 b 22)[39 - Цит. по: [Фрагменты, 482]. В переводе В. П. Карпова этот фрагмент звучит несколько иначе: «Пифагорейцы также утверждали, что пустота существует и входит из бесконечной пневмы в само Небо, как бы вдыхающее [в себя] пустоту, которая разграничивает природные [вещи], как если бы пустота служила для отделения и различения смежных [предметов]. И прежде всего, по их мнению, это происходит в числах, так как пустота разграничивает их природу» (см.: Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 3. М.: Мысль, 1981. С. 136).].

Итак, Вселенная есть космос, т. е. некоторый порядок. Однако этот порядок существует наряду с неопределенностью, с беспредельностью, пустотой. Беспредельность и пустота не только объемлют космос, но и проникают внутрь него. Что означает проникновение пустоты внутрь порядка? Я думаю, это можно понять по аналогии с только что рассмотренной теорией музыки. Мы видели, что музыкальная гармония вносит упорядоченность в континуум звуков. Отдельные («точечные») звуки, ограничивающие интервалы и образующие консонанс, создают определенную структуру, порядок, определяемый числовыми отношениями. Однако эта структура, во-первых, объемлется неупорядоченным континуумом звуков, а во-вторых, наполнена им изнутри. Как бы мы ни ограничивали музыкальные интервалы, создавая упорядоченную звуковую структуру, между границами всегда будет оставаться континуум, бесконечная, неупорядоченная совокупность потенциальных звуков.

Таков, по-видимому, и космос. Он образован телами правильной геометрической формы, расположенными друг относительно друга в строгом порядке. Однако эти тела разделены пустотой. Между ними и внутри них остается пустота, нечто неопределенное, бесконечно делимое, неупорядоченное. Эта пустота разделена границами тел (подобно тому, как звуковой континуум разделен голосами, т. е. «точечными» звучаниями), а потому сам космос есть единство предела и беспредельного. Именно такое единство создает космос: из приведенного свидетельства Аристотеля это очень ясно видно. Порядок возможен лишь тогда, когда тела в космосе разделены пустотой. Только благодаря «впусканию» пустоты (неопределенности, континуума) в промежутки между телами эти тела разделены и, соответственно, определенны. Точно также и голоса есть нечто различимое и определенно звучащее, благодаря разделяющим их интервалам. Вспомним, что Парменид, который не допустил никакого смешения предела и беспредельного и жестко отделил бытие от небытия, должен был признать бытие однородным и повсюду себе равным, т. е. внутренне неструктурированным, а значит, парадоксальным образом, неопределенным. Неожиданно получается, что неопределенность, понятая как беспредельность, неотделима от определенности и предела, более того, оказывается условием ясного понимания.

Космос, согласно пифагорейским представлениям, представляет собой сферу. За пределами этой сферы, как следует из только что приведенного свидетельства Аристотеля, – беспредельное, из которого в космос проникает пустота. В центре Космоса расположен огонь, или неподвижный

Очаг. Он излучает свет и составляет противоположность окружающей космос пустоте. Последняя в ряде источников характеризуется также как тьма[40 - ю. Свет у пифагорейцев отождествляется с пределом, а тьма с беспредельным. Аристотель приводит десять пар противоположных начал, организующих космос согласно пифагорейскому учению: предел и беспредельное; нечет и чет; единое и множество; правое и левое; мужское и женское; покоящееся и движущееся; прямое и кривое; свет и тьма; хорошее и дурное; квадрат и прямоугольник. (Аристотель. Метафизика. А. 5. 986 а 13). и. Введение пифагорейцами этого невидимого космического тела Аристотель объясняет их пристрастием к числам. Полагая совершенным числом десятку, они считали, что Космос должен состоять непременно из десяти сферических тел. Аристотель, весьма критично настроенный к пифагорейцам, пишет по этому поводу, что они действуют «не ища теорий и объяснений, сообразных с наблюдаемыми фактами, а притягивая за уши наблюдаемые факты и пытаясь их подогнать под какие-то свои теории и воззрения»]

. Между этим центром и Космосом расположены еще девять концентрических сфер. Они вращаются вокруг Очага и несут каждая некоторое светило (планету). Расположение светил, если считать от Неба к центру, таково: Сатурн, Юпитер, Марс, Меркурий, Венера, Солнце, Луна. Далее, ближайшими к Очагу пифагорейцы полагали Землю, а также постулированную ими ненаблюдаемую Антиземлю. Наблюдать ее с Земли (в отличие от остальных движущихся в Космосе тел) невозможно, поскольку она движется с противоположной от Земли стороны

.

Принципом организации Космоса выступает, как и в музыкальной теории, гармония. Расстояния между сферами находятся в тех же самых отношениях, которые связывают длины струн, звучащих в консонансе. Вот, что пишет об этом Александр Афродисийский:

А так как началом этой гармонии они считали число, то, естественно, и началом Неба и Вселенной они тоже полагали число. Так, например, расстояние от Земли до Солнца в два раза больше, чем расстояние до Луны, в три раза больше расстояния до Венеры и в четыре раза больше расстояния до Меркурия; также и для всех остальных [небесных тел] они принимали некоторое арифметическое отношение и потому полагали, что движению Неба присуща музыкальная гармония[42 - 12. См.: [Фрагменты, 468–469].].

Построив величины, связанные этими отношениями, мы легко убедимся, что они соответствуют октаве, квинте и кварте. Пифагорейцам принадлежит также идея о «музыке сфер». Вот еще одно свидетельство того же автора:

Полагая, что расстояния движущихся вокруг центра тел пропорциональны, что одни из них движутся быстрей, другие – медленней и что движущиеся медленней издают при движении низкий звук, а движущиеся быстрей – высокий, [они заключали, что] эти звуки относятся между собой так же, как расстояния, и потому образуют гармоническое звучание[43 - [Фрагменты, 468].].

Таким образом, числовая гармония (т. е. пропорция), соединяя предел и беспредельное, создает организованное целое. Мы постигаем Космос именно как целое, сложенное из соразмерных частей. Беспредельное, как мы видели, необходимо для этой соразмерности, поскольку благодаря ему части отделимы друг от друга, и мы имеем дело именно с целым, а не с единым и простым. Последнее было бы непостижимо, поскольку в нем невозможна никакая организация, никакая соразмерность.

2.3. Пифагорейская математика

Близкие идеи мы находим в пифагорейских исследованиях по геометрии и арифметике.

На первой из названных наук мы не будем останавливаться подробно. Приведем лишь некоторые соображения, касающиеся греческой геометрии вообще, имея в виду, что пифагорейцы, по-видимому, создали ее значительную часть.

Ведущей идеей в геометрии является идея равенства фигур. Основной операцией здесь является наложение линий и/или фигур и их сопоставление. Важным результатом геометрического рассуждения становится заполнение одной линии или фигуры организованной совокупностью других.

Рассмотрим, например, задачу об удвоении квадрата, решение которой приведено в диалоге Платона «Менон».

Сама задача состоит в том, чтобы построить квадрат, вдвое больший данного. Решение сводится к демонстрации, что именно таким квадратом, будет квадрат, сторона которого равна диагонали исходного квадрата. Это видно из приводимого рисунка.

Рис. 2. Задача удвоения квадрата

Мы видим, что исходный квадрат – ABCD – составлен из двух равных треугольников. Квадрат DBFE, построенный на диагонали исходного, составлен из четырех точно таких же треугольников. Поэтому он вдвое больше исходного.

Здесь мы видим общий метод решения задач: разделение некоторого целого на равные части и составление нового целого из тех же частей. При этом достигается возможность соизмерения двух целостностей. В приведенном примере прямоугольный треугольник, полученный при делении исходного квадрата диагональю, является общей мерой для двух квадратов. Сопоставление двух целых предметов достигается благодаря их составленности из соизмеримых частей, в конечном счете из многократно воспроизведенной части, являющейся общей мерой.

Однако не все оказывается так гладко. Пифагорейцам пришлось иметь дело с задачами, которые не решаются подобным способом. В таких задачах ни при каком разбиении на части одного целого не удается составить из этих частей другое. Иными словами, существуют несоизмеримые величины. Таковы, например, сторона и диагональ квадрата. Мы не будем приводить здесь доказательства их несоизмеримости, но попробуем описать существо проблемы. Ясно, что диагональ больше стороны. При этом она не превышает сторону в целое число раз: удвоив сторону квадрата, мы получим величину, превышающую диагональ. Если взять теперь половину стороны, то окажется, что две половины, как мы знаем, меньше диагонали, тогда как три вторых стороны ее превышают. Разбив сторону на три равные части, мы получим, что 4/3 стороны меньше диагонали, а 5/3 – больше. Точно также 5/4 стороны не достает для покрытия диагонали, 6/4 – уже избыток. Такой же результат получится и при более дробных делениях. На какие бы равные части мы ни разделили сторону, нам никогда не удастся составить из этих частей диагональ, мы всякий раз будем получать либо недостаток, либо превышение. Впрочем, чем более мелкие части мы будем использовать, тем меньше будет разница между диагональю и составленных из этих частей отрезков. Поскольку линия делима до бесконечности, то можно достичь сколь угодно точного приближения, но точного равенства – никогда.

Несоизмеримость явно связана с бесконечной делимостью. Она не могла бы возникнуть, если бы существовал некий предел делению, если бы мы могли выявить некий атом[44 - Atomos по-гречески буквально значит «неделимый».], из которого были бы составлены все геометрические величины. Такой атом был бы универсальной мерой, и несоизмеримость была бы невозможна. Но такого атома нет, и, соответственно, нет общей меры для всех геометрических величин. При решении каждой задачи мы должны выбирать особую меру, сообразно ее условиям. Но, оказывается, что найти такую меру не всегда возможно.

В геометрии, таким образом, мы опять имеем дело с пределом и беспредельным. Фигуры и линии ограничены, т. е. имеют предел, но бесконечно делимы, следовательно, включают беспредельное. Точки, ограничивающие линии, и линии, огранивающие фигуры, играют ту же роль, что отдельные голоса в музыке. Они разграничивают континуум, бесконечно делимую среду, вносят в нее структуру, определенность. Именно благодаря такому разграничению возникают соразмерные целостности, подобные тем, которые мы видели в задаче об удвоении квадрата. Но, как видим, в геометрии предел не всегда может совладать с беспредельным. «Прорываясь» в виде несоизмеримости, оно не позволяет нам достичь полной ясности при изучении геометрических фигур и величин.

Гораздо в большей степени удается достичь ясности в арифметике. Здесь мы имеем как раз то, что отсутствовало в геометрии – общую меру. Все числа соизмеримы, поскольку составлены из единиц. В этом собственно и состоит определение числа. По Евклиду, число есть «множество, составленное из единиц» (Евклид. Начала. VII. Опр. 2). Если же пользоваться пифагорейскими источниками, то сходное по сути, хотя и несколько более сложное, определение дает Никомах из Герасы: «Число есть ограниченное множество, или собрание единиц, или поток составленного из единиц количества»[45 - [Никомах, ю6].]. Единица не определяется никак. Она, в отличие от числа, неделима. Иными словами, в арифметике мы имеем ровно ту ситуацию, которую описывали выше. Этим арифметика принципиально отличается от геометрии. Впрочем, число также есть единство предела и беспредельного, но беспредельное проявляет себя здесь не через бесконечную делимость, а через неограниченное возрастание.

Рассмотрим некоторые важные особенности пифагорейской арифметики, опираясь на только что цитированный источник – трактат Никомаха из Герасы. Прежде всего, заметим, что его автор настаивает на неравноправном положении наук, почитая арифметику более значимой, чем все остальные, и даже называя ее «матерью всех наук»[46 - [Никомах, 104].]. Аргументирует он это тем, что «с ее уничтожением уничтожаются все науки, сама же она не уничтожается вместе с ними». Ни геометрия, ни астрономия, ни музыка не могут изучаться без знания чисел. Числа же, упорядочивая и организуя все остальное, не зависят ни от чего. О числах при этом достигается наиболее ясное знание.

Начнем с классификации чисел. Единица, заметим, числом не является. Она есть начало всякого числа. Числа же, прежде всего, разделяются на четные и нечетные. Первые делятся на два равных, вторые же не могут быть разделены на два.

Четные числа, в свою очередь, разделяются на три вида: четно-четные, четно-нечетные, нечетно-четные. Определения этих видов таковы.

Четно-четные числа, по определению Никомаха, делятся на две равные части так, что получившиеся доли, в свою очередь, делятся пополам и это деление пополам можно продолжать до тех пор, пока не получится единица. Иными словами, речь идет о степенях двойки, т. е. числах 2, 4, 8,16, 32, 64…

Четно-нечетное число таково, что его половины уже не делятся на два. Таковы, например, 6,10,14,18, 22, 30. Этот вид четных чисел Никомах называет противоположным первому.

Наконец третий вид, который Никомах считает средним между двумя противоположностями – нечетно-четные числа – это числа, половины которых делятся пополам, и даже у некоторых половины половин делятся надвое, а у некоторых это деление можно продолжить и далее. Однако, в отличие от четно-четных чисел, это деление невозможно продолжить до единицы. Его конечным итогом всегда будет какое-то нечетное число (напомним, что единицу пифагорейцы числом не считали, а потому не считали ее нечетной). Таковы, например, числа 24, 28, 36, 40, 44.

Далее Никомах описывает свойства каждого из трех видов, чем мы здесь заниматься уже не будем. Заметим, что такая классификация четных чисел для современной математики не очень интересна, тогда как пифагорейцы явно придают ей большое значение. Чем же она важна? Я думаю, что некоторую подсказку мы получим, если посмотрим, как определяет эти виды чисел Евклид.

Четно-четное число есть четным числом измеримое четное число раз.

Четно-нечетное число есть четным числом измеримое нечетное число раз.

Нечетно-четное число есть нечетным числом измеримое четное число раз (Евклид. Начала. VII. Опр. 8-10).

Получается, что речь здесь, как и при изучении геометрических фигур, идет об измеримости. На этот раз одно число оказывается мерой для других. Помимо того, что все числа измеримы единицей и, следовательно, соизмеримы, между числами определенного вида можно найти дополнительную соизмеримость, т. е. можно измерить их общей мерой, отличной от единицы. Измеримость же есть составленность целого из частей, более того, определенная организация частей, составляющих целое. У каждого из трех видов четных чисел эта организация разная.

Туже мысль можно увидеть и в классификации нечетных чисел. Здесь так же различаются три вида, причем так, что два из них противоположны, а третий – промежуточный. Числа первого из этих видов называются «первичными и несоставными», второго – вторичными и составными. Числа третьего вида Никомах определяет как «сами по себе вторичные и составные, но по отношению к другим – первичные и несоставные».

Первый из названных видов мы теперь называем простыми числами. Эти числа делятся лишь на себя и на единицу, т. е. измеримы лишь единицей.

Числа второго вида, противоположного первому, «могут быть измерены другим числом, помимо единицы»[47 - iy. [Никомах, 113].]. Это составные числа, т. е. нечетные числа, имеющие отличные от единицы делители. Таковы, например, 9,15, 25.

Что касается третьего вида, то его описание у Никомаха весьма неясно и содержит явные логические неувязки. Например, он относит число 9 и ко второму, и к третьему виду.

Мы не будем, чтобы не затягивать наш рассказ, излагать все основы пифагорейской арифметики. Заметим лишь, что выявляемые в ней свойства чисел всегда будут определяться одной и той же указанной только что мыслью: очередное установленное свойство числа есть следствие некоторой организации частей внутри целого. При этом организация частей определяется их соразмерностью.

Обратим лишь еще раз внимание на различение четного и нечетного, принципиальное для всей пифагорейской арифметики.

Четные числа делимы на две равные части. Нечетные числа неделимы надвое «из-за присутствия единицы в середине»[48 - [Никомахюб].].

Что означает «присутствие единицы в середине» легко понять из графического изображения четного и нечетного числа:

Рис. 3. Представление четных и нечетных чисел

Нечетное число имеет центр симметрии, а у четного в центре ничего нет. Эта пустота в центре делает четное число как бы неустойчивым, делимым и, как следствие, менее совершенным, чем нечетное. Нечетное число имеет начало, конец и середину и представляет собой замкнутое целое. Четному же числу свойственна разомкнутость. Оно как будто растекается в бесконечность. Во всяком случае, пифагорейцы полагали, что нечетному числу соответствует предел, а четному – беспредельное.

Обратим внимание, что и в этом случае все определяется организацией частей в пределах целого. Однако, говоря о числе, мы должны обратить внимание на другую пару понятий, более общих, чем часть и целое. Эти понятия – единство и множество. Число, как мы видели, было определено как множество, составленное из единиц. Такое множество, конечно, есть нечто целое, состоящее из частей. Но оно представляет собой предельный случай такого целого. В геометрии, космологии и музыке части были сложны и соразмерны. Здесь же они просты и неразличимы. Все сводится к многократному повторению одного и того же. При любой соразмерности мы имеем такое повторение. Но общая мера, воспроизводимая много раз в пределах целого, все же есть нечто сложное. Она также имеет собственное устройство. Число – идеальная модель целого, состоящего из соразмерных частей. Общая мера в нем предельно проста и уже не имеет никакой собственной организации. Всякая общая мера есть усложненная единица. Число, следовательно, лежит в основе всех других целостностей. Всякая организованная, упорядоченная сложность имеет в своей основе число. Оно являет эту сложность (сложенность) в самом чистом виде. Можно сказать и иначе: всякое целое, состоящее из частей, есть, по своей сути, число, усложненное, обремененное какими-то дополнительными, нечисловыми характеристиками. Поэтому истинное знание всякого сущего представляет собой знание его числовой структуры. Поэтому арифметика есть главная наука, без которой невозможна никакая другая.

На примере пифагорейской арифметики мы далее попробуем уточнить, что такое ясное знание и каковы его условия. Мы уже не раз говорили о структурировании целого. Знание целого состоит в усмотрении организации его частей. Чтобы объяснить смысл такого усмотрения нам будут полезны дополнительные сведения о пифагорейской теории чисел.

Прежде всего заметим, что слово «усмотрение» имеет здесь буквальный смысл. Число для пифагорейцев имеет зримое выражение, оно всегда имеет явное графическое представление. Выше мы уже воспользовались одним из таких представлений, чтобы показать различие между нечетным и четным числом. Число как множество, составленное из единиц, всегда можно созерцать, видеть глазами, как целое, объединяющее свои части. Однако такое созерцание требует определенной работы. Рассмотрим, например, число 9, которое исходно представляет собой девять собранных вместе единиц. Выглядеть это может, например, так: