Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Если уже прочитали следующий раздел, найдите формулу для

 как функцию от

? Согласуется ли график этой функции с тем, что изобразили ранее?

Если стратегия активного вмешательства попытается изменить элемент

 в этой матрице, опишите в математических терминах, каким может получиться результат от таких действий. Какое значение параметра

 должно быть достигнуто, чтобы популяция восстановилась?

Повторите анализ, чтобы понять влияние изменения других ненулевых элементов матрицы.

Независимо от стоимости реализации любого плана восстановления популяции, какой элемент, по вашему мнению, было бы наиболее эффективно попытаться изменить? Решение каких вспомогательных задач может понадобиться для того, чтобы лучше понять динамику популяции и адекватно ответить на этот вопрос?

Почему план изменения коэффициента рождаемости на небольшую величину может иметь затраты, отличные от затрат на реализацию плана по изменению коэффициента выживаемости?

Выполните анализ чувствительности модели Лесли или Ашера, описанной произвольной матрицей большего размера.

2.4. Вычисление собственных векторов и собственных значений

Сначала покажем, как собственные векторы и собственные значения можно вычислять вручную для

-матриц.

Для любой наперёд заданной матрицы

, уравнение для нахождения собственного вектора этой матрицы, которое хотим решить, имеет вид

, где и вектор

, и скаляр

 неизвестны. Это уравнение можно переписать как:

,

,

.

Обратите внимание, в среднем уравнении появилась единичная матрица, чтобы вынесение общего множителя

 из каждого слагаемого стало возможным. Без единичной матрицы получилось бы

, что не имеет смысла, так как вычитание скаляра из матрицы не определено.

Теперь, если

 и

 действительно являются собственным вектором и его собственным значением, последнее уравнение показывает, что матрица

 не может иметь обратную. Ибо если бы это было так, то могли бы умножить каждую часть уравнения

 на обратную ей слева, чтобы получить

. Даже не зная, чему равна

, можно утверждать, что получится

, а это будет означать

. Но определение собственных векторов требует, чтобы они были ненулевыми,

, следовательно, полученной противоречие опровергает наше предположение об обратимости матрицы

.

Итак,

 не имеет обратной, тогда

 должен быть равен 0. Таким образом доказали, если

 является любым из собственных значений матрицы

, то оно должно удовлетворять уравнению

.

Пример. Для матрицы

, получаем

, и поэтому

 превращается в

, что равносильно уравнению

, решая которое получим

. Это означает, что единственными возможными собственными значениями для

 являются числа 1 и 0.98.

Уравнение