Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Доказательство утверждения (а) представляется как упражнение и просто требует аккуратно выполнить умножения с каждой стороны. Утверждение (б) получается неоднократным применением (a) к самому себе, так как

. Утверждение (в) также следует из (а), если предварительно умножить уравнение (в) на

, чтобы освободиться от знаменателя.

Чтобы увидеть, как на асимптотическое поведение линейной модели влияют комплексные собственные значения, вернёмся к предыдущему пункту. Даже если некоторые из собственных значений

 являются комплексными числами, в случае, когда

 является строго доминирующим, то есть

 для всех

, рассуждая по свойству (в) теоремы, получим

 как и раньше, а далее

  устремится к 0 по мере увеличения t. По свойству (б) теоремы это означало бы, что

 стремится к 0. Поэтому должно быть то, что соответствует 0. Как и прежде видим, что все члены разложения в линейную комбинацию собственных векторов в скобках, за исключением первого, становятся бесконечно малыми по мере увеличения

. Предыдущие рассуждения по-прежнему действительны, даже когда некоторые собственные значения комплексны.

Хотя появление комплексных собственных значений может сначала сбивать с толку, как только поймете, что важно лишь их значение по абсолютной величине, они не создают никаких трудностей для анализа модели. Их присутствие обычно приводит к нерегулярным колебаниям в части поведения модели, так же как колебания вызывали отрицательные собственные значения. Для популяционных моделей строго доминирующее собственное значение всегда будет действительным числом.

Задачи для самостоятельного решения:

2.3.1. Примените MATLAB для исследования модели

, рассмотренной выше. Покажите, что для различных вариантов начальных значений популяции модель ведет себя точно так, как можно было бы предсказать, зная только два её собственных значения.

2.3.2. В MATLAB для вычисления собственных векторов и собственных значений матрицы

 используется следующая команда: [S,D]=eig(A)

Столбцы матрицы

 будут собственными векторами, а соответствующие диагональные элементы матрицы

 их собственными значениями.

Используйте MATLAB для вычисления собственных векторов и собственных значений для матрицы

 для моделирования леса. Совпадут ли они с приведенными в тексте раздела? Объясните возникшее отличие.

2.3.3. Используйте MATLAB для вычисления собственных значений матрицы, приведенной в Разделе 2.2, описывающего модель популяции растений. Объясните, как собственные значения связаны с графиком на рисунке 2.2.

2.3.4. Рассмотрим модель из раздела 2.2, но для другого растения, матрица перехода которого полученная путем замены всех элементов в первой строке и столбце исходной матрицы на 0.

а. С интуитивной точки зрения, каков смысл замены указанных элементов на 0?

б. Вычислите доминирующее собственное значение для каждой модели. Изменились ли внутренние темпы роста? Изменились ли внутренние темпы роста так, как вы и предполагали? Объясните, почему.

в. Если семена мало влияют на внутреннюю скорость роста растения, то почему они, по-видимому, являются благоприятными для вида в целом?

2.3.5. Рассмотрим модель Лесли с

.

а. Размышляя о значении каждого элемента в этой матрице, как вы думаете, описывает ли она растущую или сокращающуюся популяцию? Как полагаете, размер популяции будет меняться быстро или медленно?

б. Вычислите собственные вектора и собственные значения модели с помощью MATLAB.

в. Каковы внутренние темпы роста? Каково стабильное распределение стадий?

г. Выразите начальный вектор

 в виде линейной комбинации собственных векторов.

д. Используйте ответ из части (г), чтобы записать формулу для популяционного вектора

.

2.3.6. Повторите решение предыдущей задачи для модели Ашера при

 с

.

2.3.7. Найти скорость роста и стабильное распределение стадий модели популяции койота, матрица перехода в которой равна

. Популяция будет расти или уменьшаться? Быстро или медленно?

2.3.8. Найдите внутренние темпы роста и стабильное распределение по возрасту для модели, описанной задаче 2.2.2. Напомним, что временной шаг для этой модели составлял 5 лет. Как выразить внутренние темпы роста на ежегодной основе?

2.3.9. Предположим, что простая модель разбивает множество всех аспирантов математических специальностей на две группы, не защитивших диссертации и группу защитивших. Только одна шестая часть аспирантов доходит до зашиты и сами становятся научными консультантами, остальные отчисляются. Среднестатистический научный консультант воспитывает пятерых аспирантов на временном этапе. Наконец, три четверти научных консультантов отходят от дел, после защиты своих аспирантов, на каждом временном этапе, в то время как остальные продолжают плодотворную работу.

а. Смоделируйте эту ситуацию с помощью матрицы перехода в линейной модели. Это модель Лесли или Ашера, или ни то, ни другое?

б. Вычислите собственные векторы и собственные значения матрицы перехода с помощью MATLAB.

в. Каковы внутренние темпы роста модели? Каково стабильное распределение двух описанных стадий становления профессионального математика?

2.3.10. Докажите, что модуль комплексных чисел удовлетворяет свойству мультипликативности нормы

.

Проектные работы: