Удивительные числа Фибоначчи

Удивительные числа Фибоначчи
Александр Иванович Бородулин

Говорят, что дружба начинается с улыбки. Быть может, забавные числа Фибоначии помогут многим ребятам поверить, что математика – это вовсе не строгая и высокомерная королева наук, а добрая и заботливая матушка материального мира.

Александр Бородулин

Удивительные числа Фибоначчи

Здравствуйте, Ребята!

Знаете, какую науку все уважают, да не все обожают? Конечно же! Это – математика! Каждый понимает, что математика является универсальным инструментом для всех отраслей знаний. Но не каждый уверен, что может научиться виртуозно владеть этим инструментом. Слишком уж много всяческих правил, формул и знаков! Как посмотришь на некоторые математические раскладки, голова кругом идет! И, действительно, в математических записях используются буквы из различных языковых систем, множество других, непривычных нашему восприятию, символов и значков. Да! Это, безусловно, осложняет освоение математики!

Однако, полагать, что математика настолько сложна, что доступна для освоения лишь некоторым – это полное заблуждение!

Взгляните на свои руки! Именно этими руками люди и создали все многообразие комфортных и безопасных условий своего существования. И математика тоже началась с человеческих рук!

Вы и сами, Ребята, наверняка знаете, что десятичная система счисления, которая применяется у большинства народов, обусловлена фактом наличия десяти пальцев на руках.

Да! По пальцам рук легко можно посчитать до десяти. А можно ли по пальцам рук посчитать до ста? Поначалу, это кажется невозможным. Но только поначалу!

Но, как и в любом другом деле, сначала необходимо договориться!

Как будем показывать число «один?» Выпрямленным указательным пальцем левой руки. При том, что все другие пальцы согнуты. Согласны? Тогда, будем двигаться дальше! Для показа числа «два» нужно разогнуть еще и средний палец. И так, по порядку, разогнем все пять пальцев, чем покажем число «пять». Но если для показа числа «шесть» подключить правую руку, то до ста уже точно не сосчитаешь! Поэтому, число «шесть» покажем загнув лишь мизинец. Если согнуть еще и безымянный палец, то это будет означать число «семь». А когда будут загнуты все четыре пальца, которые раньше называли перстами, то получим не только символ одобрения, но и обозначение числа «девять». Дальше, уже все понятно! Пальцами правой руки будем показывать десятки, а пальцами левой руки, соответственно, единицы. Ну, и в завершение, договоримся, что число «сто» будем показывать двумя кулаками, развернутыми ладонями к собеседнику, дабы исключить двоякое толкование.

Однако, некоторые скажут, что умение считать – это еще не математика! Но, это – высокомерная чепуха. Умение считать – это уже математика! Причем, это – сама основа математики! Ведь не обучившись счету, нечего и думать о вычислениях и расчетах по формулам!

Кстати, считать умеют не только люди, но и другие существа! Причем, без использования записей, и даже без использования пальцев. Просто в уме! Да и делают это гораздо быстрее, чем мы!

А ведь, еще, каких-то, сто лет назад, все ученое сообщество считало человека единственным разумным существом во вселенной!

Но каким же образом можно было догадаться, что, например, птицы умеют считать? Совсем несложно! Достаточно положить на одну тарелочку несколько зерен, а на другую, которую следует поставить на некотором расстоянии от первой, на одно зернышко больше. Перед тем, как запустить птичку в помещение с этими тарелочками, следует убедиться, что птичка очень желает покушать эти зернышки и каждое из этих зернышек на каждой тарелочке хорошо видно этой птичке. Как вы, уже, вероятно, догадались, Ребята, птичка направится к той тарелочке, на которой находится больше зерен. И только, когда количество зерен будет превышать двадцать четыре, птичка всякий раз будет путаться. Может быть птичка не умеет считать больше двадцати четырех? А, может быть птичке, уже, без разницы, двадцать четыре зернышка или двадцать пять?

Итак, как мы выяснили, умение считать присуще не только человеку, но и другим существам, ибо это умение является жизненно важным!

В русском языке слово «считать» имеет несколько смысловых значений.

Во-первых, считать – это вести счет или учет количества. При этом мы используем ряд обычных чисел от одного до бесконечно большого. Такую последовательность назвали «ряд натуральных чисел». Слово «натуральное» означает «природное», «естественное». А как мы ведем счет? Да очень просто! Всякий раз мы добавляем единичку к предыдущему числу. Иными словами, ряд натуральных чисел образуется по принципу: следующее число равно текущему числу, к которому прибавили число один.

Немного позже мы узнаем, что ряд натуральных чисел может быть образован и по другому принципу. А пока, продолжим разбираться со словом «считать».

Во-вторых, считать – это получать результаты действий с числами. Иными словами вычислять. Для этого мы используем по меньшей мере два числа и действие, которое мы должны произвести с этими числами. Например, в вазе лежат чистые сливы, а в дуршлаге, с только что вымытыми фруктами, также есть сливы. Мы решили сложить все сливы в вазу. Для этого мы будем вынимать сливы из дуршлага и класть их в вазу. Когда все сливы из дуршлага будут переложены в вазу, то мы получим результат нашего действия. Его значение будет равно количеству слив, которые теперь находятся в вазе.

Некоторые, с надменной ухмылкой, могут сказать, что мы говорим об элементарных вещах, которые и так понятны каждому ребенку!

На самом же деле, это только кажется, что элементарные вещи «и так понятны!» Все в мире состоит из элементарного! Поэтому не стоит пренебрегать объяснением элементарного.

Перекладывая сливы из одной емкости в другую мы произвели элементарное действие, которое называется сложением или суммированием, а результат этого действия называется суммой. Кстати, слово «сумма» очень похоже на русское слово «сумка», в которую можно сложить много разных вещичек. На самом деле, слово «сумма» означает «общий итог». Действие с числовыми значениями в математике называется функция. Результат действия называется значением функции. А сами числовые значения называются аргументами функции или параметрами.

К сожалению, в математике, как впрочем и в других науках, множество понятий называются словами, взятыми из чужых нам языков. Чтобы эти слова не затрудняли изучение тех или иных предметов, следует узнать их перевод на наш родной язык. Например, весьма неприятное для нас слово «функция» в переводе означает совершение, исполнение или, проще говоря, действие.

Но, вернемся к нашим сливам. Узнать результат сложения слив можно либо пересчетом слив, после того, как все сливы окажутся в вазе, либо пересчетом слив до того, как сливы из дуршлага будут перекладываться в вазу, и, перекладывая по одной сливе, вести счет. А можно сначала сосчитать сливы в вазе, а потом в дуршлаге. Затем произвести действие сложение двух чисел. Разумеется, что все три способа являются правильными, ибо приводят к правильному результату. Заметим только, что третий способ и будет называться вычислением. При этом, для того, чтобы выяснить сколько всего имеется слив, нет необходимости перекладывать их в вазу.

Заметьте, что перекладывая сливы из дуршлага в вазу мы (сначала) брали сливы из дуршлага и (потом) клали их в вазу. Когда мы брали сливы, мы уменьшали количество слив в дуршлаге. Иными словами, вычитали. Вычитание является действием обратным сложению. Все элементарные действия в математике являются либо сложением (добавлением), либо вычитанием (убавлением).

Третье значение слова «считать» не относится к математике напрямую. Оно употребляется как «делать предположения» или «оценивать ситуацию». Например, выражение «Вы считаете этих людей достойными награды?»

Разумеется, что о количестве людей, которых предлагается наградить речи не идет. Но почему тогда употребляется слово «считать?» Вероятно, речь идет о величине заслуг этих людей и о величине той награды, которой их предполагают наградить. Награда должна быть достойной тех добрых дел, которые сделали эти люди, а также не быть слишком завышенной. Иными словами, нужно оценить поступки и оценить награду, а затем сравнить эти оценки на соответствие. Почти также как сравнивают числа. Пожалуй, самым наглядным примером таких сравнений является оценка знаний учеников учителем, выраженная количеством баллов.

Итак, теперь можно утверждать, что слово «считать», в самом общем смысле, означает «производить количественные измерения чего-либо». Для этого люди используют элементарные механизмы: сложение и выложение, то есть вычитание.

Как всем вам, Ребята, хорошо известно, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. И, действительно, не имеет значения с какой емкости можно было начать подсчет слив. Иными словами, порядок сложения не влияет на результат. Однако, для удобства, предпочтительнее к большему числу прибавлять меньшее.

Но как же быть с вычитанием? Можно ли сказать,что от перестановки мест вычитаемых разность не меняется? Отчего же нет? Ведь, что такое разность? Это – количественное несоответствие! Если оба сравниваемых числа равны, значит несоответствия нет! В этом случае можно как из первого вычитать второе, так и из второго вычитать первое, результат будет равен нулю. Но, если несоответствие все же имеется? Тогда нужно просто это несоответствие выявить путем вычитания из большего числа меньшее. А если из меньшего попытаться вычесть большее? Некоторые скажут, что это невозможно. А мы ответим, что это невозможно только частично, а конкретно в части количественной разницы!

Но как же можно, вообще, вычитать из меньшего числа большее? Мысленно или вручную, если имеется две емкости с разным количеством предметов, убирать из каждой по одному. Некоторые скажут, что это глупо. Но, на самом деле, при решении некоторых задач метод обоюдного убавления или добавления может здорово пригодиться! Почему по одному? Потому, что по одному, хотя и медленно, но надежно! А спешка, то есть стремление сделать что-то побыстрее, является, пожалуй, самой частой причиной ошибок!

Чтобы немного развеяться, давайте решим небольшую задачку.

На столе лежали три конфеты. Пятилетний Миша взял их и положил себе в карман. Потом, обращаясь к своей сестре, заявил, что у него пять конфет. Семилетняя Маша, с улыбкой, сказала, что Миша перепутал число три и число пять. Миша, немного обидевшись, вынул из кармана пять конфет, и показал их сестренке. Маша, не скрывая удивление, спросила Мишу, не фокус ли это?

А, действительно! Как же могло получиться так, что мальчик взял всего три конфеты, а в кармане у него оказалось пять конфет? На этот вопрос есть один единственный ответ: к моменту, когда мальчик брал со стола три конфеты, в его кармане уже находились две конфеты. Но его сестра об этом не знала, поэтому и удивилась. Эти две конфеты, которые мальчик положил себе в карман прежде, чем начался рассказ о нем, можно назвать неучтенными.

Теперь, можно рассмотреть похожую ситуацию, но, как бы перевернутую во времени.

У мамы на счете мобильной связи находились денежные средства, необходимые для оплаты тридцати минут разговоров. Мама проговорила с подругой сорок минут. После разговора, мама внесла на свой счет денежные средства для оплаты одного часа разговоров. Но когда она проверила баланс, то увидела, что денежных средств на ее счете хватит для оплаты всего лишь пятидесяти минут. Как так получилось?

Но, для начала, давайте разберемся со словом «баланс», которое тоже является чужим для нас. Изначально, это слово звучало «би ланкс», что в переводе с латыни, означало «две чаши» или, проще говоря, инструмент для взвешивания. А уже французское слово «баланс» стало означать весы вообще. Перейдя в другие языки, слово «баланс» приобрело более широкий смысл, и стало означать равновесие, соответствие. При использовании мобильной связи, появилось еще одно значение слова «баланс» – состояние счета для оплаты мобильной связи. Для нас важно отметить, что состояние счета – это не только наличие денежных средств на счете, но и их отсутствие. Как можно подсчитать отсутствие? Точно так же, как можно подсчитать отсутствующих!

Теперь, давайте представим, что на правой чаше маминого баланса, перед разговором с подругой, лежало тридцать шариков, которые легко можно превращать в минуты разговора. Как только мама позвонила подруге, лопнул один из шариков. Затем мама проговорила одну минуту и продолжила говорить дальше. Один за другим лопались шарики на правой чаше маминого баланса. Но когда все шарики лопнули, а мама продолжала беседовать с подругой, программа, обслуживающая звонки, начала выкладывать по одному шарику на обе чаши. Когда мама закончила разговор, на правой чаше шариков не оказалось, а вот на левой их оказалось целых десять штук!

Если бы мама проверила баланс, сразу после разговора, он показал бы недостаток денежных средств за десять минут разговора, которые были предоставлены маме в долг, чтобы не прерывать ее, возможно очень важный разговор. Иными словами, маме было оказано больше услуг, чем она могла на тот момент оплатить со своего счета. Таким образом, с маминого счета было списано денежных средств больше, чем там имелось. В этих случаях, можно сказать, что у мамы отрицательный баланс или минусовая сумма на счету.

В математике такие числа и называют отрицательными, и пишут со знаком «минус» перед числом. Конечно же, ничего отрицательного в этих числах нет!

Слово «отрицание» означает отказ, неприятие, опровержение. Ни одно из этих понятий не относится к числам, которые ученые называют отрицательными. Скорее всего, эти числа можно назвать заведомо предназначенные к вычитанию, или зазеркальными. Можно приложить линейку отметкой «ноль» к зеркалу и увидеть те же самые отметки, удаляющиеся по мере возрастания.

Немного забегая вперед, можно заметить, что якобы существующий в мире закон "отрицания отрицания", не более, чем очередное словоблудие ученых олухов. Вам, Ребята, возможно, уже приходилось слышать выражение "минус на минус дает плюс". Что же это означает?

Ну, например, говорят, что если из отрицательного числа вычесть отрицательное число, то, вроде как, получим положительное число. Подобные утверждения не только уродливы по произношению, но и нелепы по смыслу! Потому, что если из долга вычесть долг, то вовсе не обязательно, что этот долг будет перекрыт и появится положительная сумма. А если правило не обязательно во всех случаях, то это не может быть правилом!

Что же касается других сфер применения этого фиктивного закона, который утверждает, что если отрицать какое-то отрицание, то это значит доказывать то, что изначально отрицается. Заметьте, Ребята, какая запутанная формулировка! Она и запутанна для того, чтобы не всякий стал в нее вникать, и смог разоблачить бы эту чепуху!

Согласно этому фиктивному закону, если кто-то от чего-то отказывается, то этот кто-то готов принять нечто, противоположное тому, о чего отказывается.

Это трудно понять в такой вот запутанной формулировке, но очень легко понять на простом примере.

Предположим, что вы не хотите пить горячий чай. Если следовать заявлениям этих ученых олухов, то ваше нежелание пить горячий чай означает ваше желание пить не горячий чай, или пить горячий не чай. А разве же, не может так случиться, что вы просто не хотите пить? Но некоторые будут пытаться утверждать, что в приведенном примере нет двойного отрицания! И если предположить, что вы не хотите не пить чай, то вы точно хотите пить чай! Это действительно тогда и только тогда, когда для человека возможны только два состояния: пить чай и не пить чай. И опять, ученые олухи будут утверждать, что с точки зрения потребления чая, всегда возможны только два, приведенных выше, состояния. Но вы, Ребята, уже наверняка поняли, что математика – это не только инструмент для счета, а инструмент для размышления в общем смысле! И, применяя математику, мы сможем привести не два, а целых четыре состояния, относительно чаепития.

Первое: вы хотите пить чай (чаепитие является вашим желанием).