Апология математики (сборник статей)

Случилось так, что при выборах на единственную вакансию каждый из кандидатов X и Y получил во втором туре не менее ? голосов лиц, принявших участие в голосовании, и не менее половины списочного состава. При этом Y собрал больше голосов, чем X. Возникает три вопроса: 1) избран ли кто-нибудь в этом туре, 2) если избран, то кто и 3) надо ли проводить третий тур?

Эксперимент показал, что математики отвечают на этот вопрос, как правило, верно, тогда как гуманитарии, как правило, неверно. Верный ответ состоит в том, что X не избран, избран Y и третий тур проводить не надо. Это обосновывается следующим рассуждением. Имеются два условия избрания. Первое условие – получить необходимое количество голосов: не менее ? голосов участвующих в голосовании и не менее половины от списочного состава. Второе условие – количество N всех кандидатов, получивших в этом туре такое же или большее число голосов, не превышает числа Р вакансий.

В нашем примере первое условие выполнено для обоих кандидатов. Посмотрим, что происходит со вторым условием. В нашем примере число вакансий Р = 1. Для X второе условие не выполнено, поскольку для этого кандидата N = 2, а значит, N превышает Р. Для Y второе условие выполнено, поскольку для этого кандидата N = 1 и, стало быть, N не превышает Р.

В реальности же был проведён третий тур, в котором избранным оказался X. Напомним, что электорат состоял из гуманитариев. (Возвращаясь к реальным событиям, отметим, что через год справедливость была восстановлена и кандидат Y также стал членом Академии.)

Мораль этой истории такова: текст положения о выборах, логически и лингвистически безупречный, всё же обладает тем недостатком, что реальный гуманитарный электорат понимает его (по крайней мере отдельные его фрагменты) с трудом, или вовсе не понимает, или понимает неправильно. По-видимому, текст стоило бы переписать с учётом этого обстоятельства. Так что упрёк можно предъявить не только гуманитариям, не понявшим инструкцию, но и математикам, её составлявшим. Хотя текст инструкции безупречен с логической точки зрения и смысл его однозначен, он, этот текст, составлен без учёта возможных психологических трудностей его восприятия.

Интерпретация деловой прозы определяется главным образом трактовкой синтаксических конструкций, по-разному воспринимаемых математиками и гуманитариями. Рассмотрим два утверждения: «Каждый из присутствующих знает хотя бы один из следующих двух языков – баскского и ирокезского» и «Среди присутствующих есть некто, кто не знает ни баскского, ни ирокезского». Абсолютное большинство студентов-математиков сразу понимает, что первое из этих утверждений равносильно отрицанию второго, и наоборот. Для немалого же числа студентов-гуманитариев это не столь очевидно.

Следует, однако, подчеркнуть, что реальная фраза на естественном языке состоит не только из логического каркаса. Каркас этот облачён в мягкую (а то и пульсирующую студенистую) плоть, какова плоть весьма существенна для адекватного восприятия фразы. Что и было продемонстрировано приведёнными выше анекдотами о математиках.

VI

В последние годы получило заметное распространение преподавание математики студентам гуманитарных специальностей. И это переводит задачу постижения математиками гуманитарного образа мышления из общефилософской в практическую плоскость. Чтобы успешно преподавать свой предмет, математик должен понимать, как предмет этот воспринимается его учениками-гуманитариями.

Вот простой пример. Отношение называют рефлексивным, коль скоро всякий предмет, для которого данное отношение осмысленно, находится в этом отношении к самому себе. Пример рефлексивного отношения: 'жить в том же городе' – каждый живёт в том же городе, что он сам. (Не исключено, впрочем, что некоторые сочтут предложение «NN живёт в том же городе, что он сам» бессмысленным.) Будет ли рефлексивным отношение 'находиться неподалёку'?

Опрошенные мною математики (притом отнюдь не математические логики) отвечали, что будет: каждый предмет находится неподалёку от самого себя. Гуманитарии же – да и просто обычные люди, нематематики – в большинстве своём расценивают высказывание «Нечто находится неподалёку от самого себя» либо как ложное, либо как бессмысленное. Причина такого расхождения, надо полагать, заключается в следующем. Слово «неподалёку» означает «на малом расстоянии» (но смысл его этим не ограничивается, о чём будет сказано ниже). Математики свободно оперируют расстоянием ноль, на каковом расстоянии любой предмет находится от самого себя. Для нематематика же, в том числе для гуманитария, нулевых расстояний не бывает.

Беседуя как-то с дамой, мастером по маникюру и педикюру, я спросил её, находится ли предмет неподалёку от самого себя. Получив, к немалому своему удивлению, положительный ответ, я справился о расстоянии между предметом и им самим и был удивлен ещё более: ответом был ноль. Тогда я поинтересовался, какое образование получила моя собеседница. Оказалось – высшее техническое по специальности «гидравлика», включая достаточно обширный курс математики. Всё стало на свои места. Даже если этот курс и не познакомил её с расстоянием ноль, преподаваемая в его рамках общая система понятий и терминов не могла не выработать мысли о возможности такого расстояния.

Математики в большинстве своём не замечают, что слово «неподалёку» означает нечто большее, чем малость расстояния. Напомним, что отношение называется симметричным, коль скоро выполняется следующее условие: всякий раз, когда какой-то предмет находится в этом отношении к другому, то и этот второй предмет находится в том же отношении к первому; примеры симметричных отношений: 'жить в том же городе', 'быть родственниками'. По наблюдению автора этих строк, для большинства математиков отношение 'находиться неподалёку' является симметричным. Но анализ естественного языка показывает, что значение словосочетания «находиться неподалёку» отнюдь не симметрично. Соответствующее наблюдение сделал выдающийся американский лингвист Леонард Талми. Вот что пишет Талми по этому поводу[11 - Talmy Leonard. Toward a Cognitive Semantics. Vol. 1. The MIT Press, 2000. P. 314. (http://linguistics.bufalo.edu/people/faculty/talmy/talmyweb/Volumel/chap5.pdf (http://linguistics.bufalo.edu/people/faculty/talmy/talmyweb/Volumel/chap5.pdf))]:

Можно было бы ожидать, что такие два предложения, как

(a) Велосипед находится неподалёку от дома;

(b) Дом находится неподалёку от велосипеда[12 - В оригинале: «The bike is near the house» и «The house is near the bike».]

будут синонимичны на том основании, что они всего навсего выражают две инверсные формы некоторого симметричного отношения. Отношение это выражает не что иное, как малость расстояния между двумя объектами. На самом же деле эти два предложения вовсе не означают одно и то же. Они были бы синонимичными, если бы выражали только указанное симметричное отношение. Однако в дополнение к этому (а) содержит не симметричное указание, что один из объектов (а именно дом) имеет местоположение [set location] в пределах некоторой рамки [reference frame] (в качестве таковой здесь подразумевается данная окрестность, весь мир и т. п.) и используется в целях сообщения о местоположении другого объекта (а именно велосипеда). Соответственно, местоположение этого другого объекта есть переменная (для рассматриваемого примера это так и есть, поскольку в разных ситуациях велосипед окажется в разных местах), чьё частное значение и составляет предмет интереса.

Что касается предложения (b), то оно содержит противоположное указание. Это указание, однако, не вписывается в привычную картину мира, вследствие чего предложение (b) выглядит странным, что ясно демонстрирует его отличие от (а).

Из разбора Талми в действительности видно, что обычный человек (в том числе гуманитарий) полнее и глубже понимает смысл русского слова «неподалёку» (а именно слышит во всей полноте заключённый в нём «семантический звук», а потому и отвергает фразу, где он прозвучать не может), чем типичный математик. Типичный математик слышит в этом слове только те элементы, которые ему профессионально близки (да ещё зачастую учит гуманитария быть таким же полуглухим).

VII

Различие в понимании слов составляет существенную часть барьера, упомянутого в заголовке настоящего очерка. И следует признать, что подавляющая часть людей находится по ту же сторону барьера, что и гуманитарии. Честнее было бы сказать, что гуманитарии просто пользуются общепринятыми значениями слов. (Подозреваю, правда, что, когда в гуманитарном собрании звучат слова «дискурс», «парадигма», «экзистенциальный» и им подобные, затесавшийся на собрание математик получает редкую возможность насладиться своим единством с большинством человечества.) Можно выделить два фактора, вызывающие указанное различие.

Первый, очевидный, фактор состоит в том, что математики оперируют точной терминологией, а в качестве терминов нередко употребляют слова обычного языка, придавая им совершенно новый смысл. Например, слова «кольцо» и «поле» обозначают в математике алгебраические структуры определённого вида, ничего общего не имеющие с обручальными кольцами и засеянными полями. Подобные явления следует квалифицировать как омонимию, а возможная путаница легко устраняется контекстом, и потому обычно не составляет труда уяснить, что имеется в виду[13 - Математикам, впрочем, иногда нравится обыгрывать указанную омонимию в каламбурах: И до боли жаждет воли / Истомившийся от бега / По борелевскому полю / Измеримых по Лебегу. Те множества, которые являются измеримыми по Лебегу, действительно образуют борелевское поле, но бежать по нему, разумеется, невозможно.]. Математики настолько привыкли черпать специальные термины из общеупотребительной лексики, что порой склонны отыскивать математический смысл в самых обычных словах.

Вот иллюстрация к сказанному. Механико-математический факультет Московского университета, 1950-е гг. Идёт научный семинар, руководимый знаменитым математиком Сергеем Львовичем Соболевым (сейчас его имя носит Институт математики Сибирского отделения РАН). До слегка задремавшего Соболева доносятся слова докладчика: «А теперь я должен ввести целый ряд обозначений». Соболев просыпается и спрашивает: «Простите, какой ряд вы называете целым?» (Для тех читателей, которые незнакомы с математическим термином «ряд», поясню, что в математике рядом называется последовательность из бесконечного числа членов, подлежащих суммированию.) В подобных случаях долг гуманитария – напомнить математику, что обычные слова имеют значения и за пределами математического жаргона.

Второй фактор заключается в том, что математический смысл слова, заимствованного из естественного языка, может быть близок к обычному смыслу этого слова, но не совпадать с этим обычным смыслом. Так, математическое значение слова «угол» происходит от его обыденного значения, однако эти значения не совпадают даже в простейшем случае угла между двумя прямыми линиями (не говоря уже об угле комнаты): обыденное сознание вряд ли примирится с углом ноль градусов. В подобных случаях выбор правильного значения может оказаться затруднительным. Второй фактор глубже первого и предопределяется, по-видимому, тем, что занятия математикой и сопряжённое с ними систематическое использование точной терминологии накладывают свой отпечаток на психологию, по крайней мере в части восприятия слов. Этот фактор и проявился в нашем примере со словом «неподалёку».

Пожалуй, существует и третий фактор, не упомянутый нами по той причине, что он, возможно, обнаруживается лишь в отношении одного (но очень важного) слова. Фактор этот сводится к тому, что для обозначения одного важнейшего – и важнейшего не только для математики! – понятия в русском языке отсутствует нужное слово. В математике понятие, о котором идёт речь, обозначается словом «ложь».

Слово «ложь» происходит от глагола «лгать», каковой факт отражается в его словарном толковании: «неправда, намеренное искажение истины». Подчеркнём здесь слово «намеренное». Знаменитый «Энциклопедический словарь» Брокгауза и Ефрона в одноименной статье прямо указывает на аморальность лжи:

Ложь – в отличие от заблуждения и ошибки – обозначает сознательное и потому нравственно предосудительное противоречие истине. Из прилагательных от этого слова безусловно дурное значение сохраняет лишь форма лживый, тогда как ложный употребляется также в смысле объективного несовпадения данного положения с истиною, хотя бы без намерения и вины субъекта; так, лживый вывод есть тот, который делается с намерением обмануть других, тогда как ложным выводом может быть и такой, который делается по ошибке, вводя в обман самого ошибающегося.

Мы видим, что значение русского существительного «ложь» непременно подразумевает субъекта и его злонамеренность. Но субъект со своими намерениями чужд математике.

Вместе с тем в математике ощущается острая потребность в слове, обозначающем любое неистинное утверждение. В качестве такового и выбрано слово «ложь». Таким образом, математики употребляют это слово, лишая его какой-либо нравственной оценки и отрывая от слова «лгать». Заметим, что английский язык располагает двумя словами для перевода русского слова «ложь»: это lie для передачи обычного, общеупотребительного, бытового его смысла, предполагающего сознательную злонамеренность, и falsehood для смысла математического. Заметим также, что в русском языке существует слово, обозначающее любое истинное утверждение, вне зависимости от намерений, с которыми данное утверждение сделано. Это слово «истина». Можно сказать: «Дважды два четыре – это истина» – и при этом не иметь в виду никого, кто бы собирался кого-либо просветить. Но в математике можно сказать: «Дважды два пять – это ложь», не имея в виду никого, кто бы стремился кого-либо обмануть. (Вот тема для интересующихся философией языка: истина в русском языке объективна, а ложь – субъективна.)

VIII

Было бы замечательно, если бы математик был способен понимать точку зрения гуманитария, в значительной степени отражённую в языке гуманитария, а гуманитарий – точку зрения математика, в ещё большей степени отражённую в языке математика. И то и другое трудно. Ещё труднее не требовать признания одной из точек зрения единственно правильной. Таким образом, и гуманитариев, и математиков следует призвать сделать шаг навстречу друг другу. И начинать надо с преподавания, руководствуясь следующими словами А. Н. Колмогорова:

…Учитель (для конкретности – преподаватель математики) находится в том же положении, как учёный, приходящий со своей проблематикой в уже существующий вычислительный центр с определённым набором вычислительных машин, запасом заготовленных (с другими целями!) программ, даже со штатом программистов. Задача его состоит в том, чтобы обучить этот сложный механизм выполнить новую работу, используя все свои уже заготовленные заранее механизмы, программы, навыки.

IX

Обсуждая вопрос о преподавании кому-либо чего-либо, полезно иметь представление о целях этого преподавания. Среди таких целей можно выделить две: 1) получение образования; 2) подготовка к профессии.

Следует заметить, что в ряде стран различие названных целей отчётливо отражено в организации образовательных учреждений. Так, в России разделение целей организационно оформлено на уровне среднего образования, во Франции – на уровне высшего. В современной России, как это было ещё в СССР, образование призваны давать средние школы; в СССР к профессии готовили техникумы, каковые в современной России переименованы, кажется, в колледжи (слава богу, что не в академии). Во Франции образование дают университеты, профессии же – так называемые высшие школы (grandes еcoles), среди которых наиболее известны Высшая нормальная школа (Еcole normale supеrieure) и Политехническая школа (Еcole polytechnique). В университеты берут без экзамена всякого, лишь бы он проживал в данном регионе и имел надлежащую справку о среднем образовании; в высшие школы – суровый конкурс, и в них, по крайней мере в некоторых, платят приличную стипендию.

X

Разумеется, грань между повышением общеобразовательного уровня и профессиональной подготовкой зачастую стирается. Скажем, знакомство с аксиоматическим методом значимо не только в плане общего образования.

Разъясним прежде всего, как в рамках этого метода трактуется слово «аксиома». В повседневном языке аксиома понимается, скорее всего, как утверждение настолько очевидное, что оно не требует доказательств. Однако авторитетный толковый словарь Ушакова вообще отрицает принадлежность слова «аксиома» повседневному языку, относя один из оттенков его значения к математике, а другой – к языку книжному[14 - Положение, принимаемое без доказательств (мат.). || Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книжн.) (Толковый словарь русского языка / Под ред. Д. Н. Ушакова. – М., 1935–1940.).]. Словари же иностранных слов – и словарь Крысина[15 - Крысин Л. П. Толковый словарь иноязычных слов. – 2-е изд., доп. – М., 2000.], и словарь Захаренко и др.[16 - Захаренко Е. Н., Комарова Л. Н., Нечаева И. В. Новый словарь иностранных слов. – М., 2003.] – если и впускают это слово в повседневный язык, то лишь в значении, квалифицируемом как переносное: «Бесспорное, не требующее доказательств положение». Основное же, даваемое первым значение слова «аксиома» эти словари толкуют сходным образом: «Исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений» (словарь Крысина), «Отправное, исходное положение какой-либо теории, лежащее в основе доказательств других положений этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательств» (словарь Захаренко и др.). Таким образом, в том своём значении, которое является основным для математиков, аксиомы трактуются не как положительные утверждения, а как формулировки предположений. В современной математике развитие какой-либо аксиоматической теории происходит следующим образом: предположим, что верно то, что записано в аксиомах, тогда окажется верным то-то и то-то.

Сущность аксиоматического метода останется непонятной без предъявления содержательных примеров. Сообщим поэтому, как выглядит фрагмент одной из аксиоматических систем для геометрии. Сперва объявляется, что существуют два типа объектов; объекты первого типа называются точками, объекты второго типа – прямыми. Что это за объекты, как они «выглядят», намеренно не объясняется. Далее декларируется, что существует некоторое отношение, называемое отношением инцидентности, в которое могут вступать между собой отдельно взятая точка и отдельно взятая прямая. Что это за отношение, опять-таки не объясняется, сообщается лишь, что если даны точка и прямая, то они могут быть инцидентны друг другу, а могут быть и не инцидентны. Если точка инцидентна прямой, то говорят, что точка лежит на этой прямой, а прямая проходит через эту точку. Наконец, указываются свойства, соединяющие между собой вводимые сущности: в нашем случае – точки, прямые, отношение инцидентности. Формулировки таких свойств и называются в математике аксиомами, в нашем случае – аксиомами геометрии.

Для примера приведём три из аксиом геометрии. Первая: для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из этих точек. Вторая: существуют три точки, не лежащие на одной прямой. Третья: для любой прямой и любой не лежащей на ней точки существует не более одной прямой, проходящей через эту точку, но не проходящей ни через одну из точек, лежащих на исходной прямой (эта аксиома называется аксиомой о параллельных). Эти три аксиомы вкупе с другими аксиомами, говорящими о свойствах точек, прямых и отношения инцидентности, а также о свойствах некоторых других объектов и отношений, позволяют развить науку, называемую геометрией. При этом никакими иными сведениями, кроме тех, которые записаны в аксиомах, пользоваться не разрешается.

Предпринимались попытки создать аксиоматику и для некоторых нематематических дисциплин, скажем для фонологии. В качестве исходных понятий брались такие объекты, как звук языка и фонема. В качестве исходных отношений – отношение равносмысленности, в каковом отношении могли находиться две цепочки звуков языка, и отношение принадлежности, в каковом отношении могли находиться звук языка и фонема. Одна из аксиом постулировала, что если при замене в какой-то цепочке звуков языка звука X звуком Y оказалось, что результирующая цепочка не равносмысленна исходной, то звуки X и Y не могут принадлежать одной и той же фонеме. (Эта аксиома называется аксиомой минимальной пары, поскольку пара цепочек, не являющихся равносмысленными и различающихся лишь тем, что в одной и той же позиции в них стоят разные звуки, называется минимальной парой.) Другая аксиома постулировала, что если, напротив, в любой цепочке звуков такая замена приводит к равносмысленной цепочке, то звуки X и Y непременно принадлежат одной и той же фонеме (эта аксиома называется аксиомой свободного варьирования, поскольку про звуки X и Y, во всех случаях допускающие замену одного другим, так что результирующая цепочка оказывается равносмысленной исходной, говорят, что они находятся в отношении свободного варьирования).

И геометрический, и фонологический примеры демонстрируют главное, что характеризует аксиоматический метод. Это главное состоит в следующем. Природа вводимых в рассмотрение предметов и отношений намеренно не разъясняется, они остаются неопределяемыми. Единственное, что про них предполагается известным, – это те связи между ними, которые записаны в аксиомах. Вся дальнейшая информация выводится из аксиом путём логических умозаключений. Таким образом, человек, собирающийся развивать теорию на основе сформулированных аксиом, должен сделать над собой психологическое усилие и забыть всё, чему его учили в школе по геометрии и в вузе по фонологии. Другое дело, что он ни в коем случае не должен забывать этого на стадии составления списка аксиом, коль скоро желает, чтобы эти аксиомы отражали реальность.

В обоих наших примерах невозможно было выделить из списка аксиом геометрии такие, которые характеризовали бы только точку, или только прямую, или только инцидентность. Аналогично среди аксиом фонологии невозможно выделить такие, которые характеризуют, скажем, только звук речи или только равносмысленность. Набор аксиом характеризует, как правило, исходные понятия не по отдельности, а в их совокупности – через объявление их связей между собой.

Аксиоматический метод может рассматриваться как один из способов введения новых понятий наряду с широко известными демонстрационным и вербальным.

Демонстрационный способ заключается в предъявлении достаточного числа примеров, не только положительных, но и отрицательных. Желая, например, ввести понятие 'кошка', нужно показать достаточное количество кошек, но также, скажем, собак и кроликов, объясняя, что эти собаки и кролики не суть кошки.

Вербальный способ опирается на словесную дефиницию. Вот два примера вербального способа: 1) определение слова «хвоя» из толкового словаря Ушакова: «Узкий и упругий в виде иглы лист у некоторых пород деревьев»; 2) определение термина «простое число»: «Натуральное число называется простым, если оно, во-первых, больше единицы и, во-вторых, делится без остатка только на единицу и на само себя». (Интересно, кстати, сколько чисел, как простых, так и простыми не являющихся, надо предъявить, чтобы понятие простого числа могло быть усвоено демонстрационным способом?[17 - Задача для развлечения нематематика: продолжить последовательность чисел 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; ….])

Аксиоматический способ определения, скажем, понятия 'точка' предполагает определение этого понятия одновременно с понятиями 'прямая' и 'инцидентно'. Все эти три понятия определяются не порознь, а совокупно, через ту информацию о них, которая записана в аксиомах. Хотя записанная в аксиомах информация, очевидно, вербальна, аксиоматический способ существенно отличается от вербального. Ведь при вербальном способе новое понятие определяется через старые, уже известные; при аксиоматическом способе несколько новых понятий определяются друг через друга на основе тех соотношений, кои связывают их в аксиомах.

XI

Сходным образом изучение математических моделей реальных явлений позволяет осознать границы моделирования, задуматься над соотношением между моделью и моделируемой реальностью. Но помимо этой философской миссии изучение математических моделей явлений экономики, психологии или лингвистики позволяет и лучше понять сами моделируемые явления.

Можно согласиться с теми, кто не устаёт напоминать об ограниченности математических моделей. Действительно, когда говорят о точности такой модели, то подразумевают её точность как математического объекта, т. е. точность «внутри себя». Когда говорят о точности модели, речь не идёт о точности описания, т. е. о точном соответствии модели описываемому фрагменту действительности. Под ограниченностью математических моделей как раз и понимается их неспособность охватить описываемое ими явление во всей его полноте.