Математика и криптография. Тайны шифров и логическое мышление

1. Не всегда пробел будет самым частым символом в столбце. Если не удалось обнаружить ключ, то можно попробовать либо вычитать букву «О», либо попытаться использовать в качестве пробела второй по частоте символ. Ключ часто может быть каким-то словом.

2. Но по-настоящему хитрые шифровальщики никогда не делают ключом слово. Если из самых часто встречаемых символов в каждом столбце получилось не слово, а какое-то бессмысленное буквосочетание, то попробуй все же применить его в качестве ключа. Вполне может быть, что это и есть ключ (всё-таки пробел очень часто встречается).

Теперь ты можешь обдумать и такую проблему: как можно модифицировать этот способ шифрования, чтобы его было не так легко взломать (а это тоже был достаточно лёгкий взлом)? Поразмышляй насчёт длины ключа.

Надеюсь, что на этой неделе тебе понравилось разгадывать зашифрованные сообщения, несмотря на множество вычислений. Ведь по сравнению с тем, чем мы занимались на первой неделе, это был настоящий шифр. А уж на следующей неделе тебя ждёт нечто удивительное. Уверен, что такого тебе ещё не попадалось.

Неделя 3. Стеганография и код Фрэнсиса Бэкона

Представь, что ты получаешь вот такое письмо:

Привет тебе, мой дорогой сын. Как поживаешь в деревне? Что нового слышно? Ругаешься ли с дедушкой и бабушкой? У нас с мамой всё как обычно. Ходим на работу. Приедем к тебе на следующих выходных, готовься. Кушай хорошо, не балуйся и слушайся старших. Ешь больше овощей и фруктов, поменьше играй на планшете и побольше гуляй. Катайся на велосипеде и купайся. До скорой встречи, твой отец.

И больше ничего. Никаких шифровок, ничего такого, о чём мы говорили раньше. Это странно.

А теперь посмотри на этот текст внимательнее. Почему в нём использованы обычные и жирные буквы? Обычно так никто не пишет. Нет ли тут какой-то тайны, над которой надо бы поломать голову?

Действительно, ты уже можешь догадаться, что в этой книге ничего не написано просто так. Тут явно что-то закодировано. Но для того чтобы это понять, необходимо немного отвлечься и изучить новую для тебя тему из математики. Тут уж ничего не поделаешь, поскольку криптография – это наука, в которой очень много математики. И даже если тебе математика не очень нравится, то я надеюсь, что ты её полюбишь, прочитав до конца эту книгу и вместе со мной попробовав все способы шифрования и расшифровки. Ведь математика позволяет решать такие интересные загадки! Честно говоря, математика позволяет делать практически всё, что только можно придумать.

Почему мы вообще используем счёт до десяти? Почему у нас десять цифр: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9? Почему, если прибавить к девяти единицу, то произойдёт так называемый перенос разряда и число станет двузначным? Для записи числа «десять» мы не вводим одиннадцатую цифру, а используем те же самые цифры, что и для первых десяти чисел от нуля до девяти. А что вообще обозначает запись «10»? Эта запись обозначает: один десяток и ноль единиц. А, к примеру, запись «156» обозначает: одна сотня, пять десятков и шесть единиц. А вот запись «7325» обозначает: семь тысяч, три сотни, два десятка и пять единиц.

А что, если бы у нас было не две руки и десять пальцев, а этакие щупальца, как у осьминога? Мы могли бы считать только до двух, и перенос разряда происходил бы, когда мы досчитывали бы не до десяти, а до двух. Это очень сложно воспринять при первом чтении, но ты постарайся: для записи любого числа можно обойтись всего лишь двумя цифрами: 0 и 1. Такова двоичная система счисления, и её постоянно используют программисты, а еще очень любят использовать математики, особенно криптографы.

Смотри: у нас есть всего две цифры, но мы хотели бы считать любое количество предметов, которое нам может встретиться. Когда предметов нет, мы используем цифру 0. Если предмет один, то мы используем цифру 1. А когда предмета два? Тут происходит перенос разряда, который в двоичной системе используется всегда, когда надо сложить 1 и 1. Так вот если надо посчитать два предмета, то мы запишем это так: 10. А три предмета? Это проще: 10 + 1 = 11. Если у нас четыре предмета, то надо к трём прибавить один, то есть 11 + 1. Что получится? Сложение делается точно так же, как и в десятичной системе. Сначала складываем единицы, получается 10, то есть происходит перенос разряда. Но в следующем разряде уже стоит 1, поэтому опять надо сложить единицы, и опять произойдет перенос разряда. Получается, что четыре предмета обозначаются как 100.

Вот так начинается счёт в этой замечательной системе счисления:

Ты сможешь определить, как в двоичной системе обозначается шестнадцать предметов?

Как перевести такие двоичные числа в привычный вид? Тут надо сделать то же самое, что и в десятичной системе, только роль разрядов – единиц, десятков, сотен, тысяч и т. д. играют единицы, двойки, четвёрки, восьмёрки. Всё это – так называемые степени основания системы счисления (основание двоичной системы счисления – двойка). Если в системе счисления десять цифр, то перенос разряда происходит на десятках, а когда у нас только две цифры, то приходится делать перенос разряда на двойках.

Таким образом, надо сложить друг с другом те степени двойки, для которых в двоичной записи числа стоит единица. Например, нам нужно перевести в десятичную систему двоичное число «101100110».

Эта таблица показывает, как это сделать. Для этого надо сложить числа 256, 64, 32, 4 и 2, и у нас получится 358. Впрочем, когда ты научишься пользоваться двоичной системой счисления так же обыденно, как и десятичной, тебе не надо будет ничего никуда переводить – ты сможешь считать и выполнять все необходимые математические операции прямо в этой системе (кстати, она намного проще, чем десятичная).

Итак, теперь ты понимаешь, что для тех, кто умеет пользоваться двоичной системой счисления, «круглые» числа – это не 10, 100, 1000 и далее, а числа, которые в десятичной системе записываются так: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 и т. д. Запомни эти числа, они, можно сказать, «волшебные». Например, их очень часто используют программисты. Есть даже такой анекдот: программисты думают, что в километре 1024 метра, а в килограмме 1024 грамма, поскольку в килобайте – 1024 байта. И в этом есть доля правды: число 1024 в двоичной системе счисления записывается как единица с десятью нулями: 10000000000. (Это абсолютно «круглое» число: даже число его нулей – 10 – является круглым как в десятичной, так и в двоичной записи).

Есть и ещё одна шутка: в мире существует 10 типов людей – те, кто знает двоичную систему, и те, кто не знает её. Надеюсь, что теперь ты можешь посмеяться над ней вместе со мной, поскольку и ты теперь знаешь двоичную систему.

Вот тут необходимо остановиться и запомнить новый термин. Ты уже давно знаешь, что такое «цифра». Так вот двоичные цифры, то есть 0 и 1, называются битами. Когда ты услышишь слово «бит», то сразу поймешь, что речь идёт о двоичных цифрах.

Теперь вспомни, что мы договорились использовать в нашем специальном алфавите (который ввели на прошлой неделе) ровно 32 символа. Теперь ты понимаешь, почему на прошлой неделе я выделил слово «ровно»? Число 32 действительно «ровное» или «круглое», поскольку в двоичной системе счисления для его записи используется число 100000. Что это значит для нас? То, что для двоичного представления любого символа из нашего алфавита требуется пять двоичных цифр. Единственное, о чём нужно договориться: мы всегда будем использовать именно пять цифр, даже если в начале числа надо ставить нули: 00100, 01011 и т. д.

Таким образом можно закодировать все символы нашего алфавита от пробела до буквы «Я». Все они получают номер от 0 до 31 в десятичной системе счисления и код от 00000 до 11111 в двоичной. Вот интересная таблица, которую я рекомендую тебе выучить наизусть:

Это достаточно простое кодирование. По сути, это шифр одноалфавитной замены, то есть код, не скрывающий тайную информацию. Но что нам это даёт?

Давай вновь обратимся к полученному сообщению. Итак, в нём использованы обычные и жирные буквы. Что, если обычная буква обозначает «0», а жирная – «1»? Надо попробовать декодировать шифр таким способом. Если подставить цифры 0 и 1 вместо обычных и жирных букв, то получится вот такая кодограмма (я сразу же разделил поток символов на группы по пять цифр, чтобы было удобно, и тебе советую сразу научиться всегда делать именно так):

00010 00110 10001 00110 00100 01001 10010 11011 00000 00010 00001 00010 10100 11001 01011 10100 00000 01111 01110 00001 00000 01001 01110 01111 10000 01100 00001 01110 00110 10011 11111 01110 01011 00001

Оставляю тебе возможность потренироваться в раскодировании текста. Тем более что здесь его не так уж и много.

Чему же мы научились на этой неделе? Мы научились очень важной вещи. Оказывается, можно скрывать информацию в другой информации так, что найти её сможет только тот, кто знает, как искать. Это как спрятать иголку в стоге сена. Более того, в стогу вообще мало кто будет искать иголку! Добиться этого – и есть основная задача стеганографии, то есть науки о сокрытии информации. Если криптография шифрует смысл текста, то стеганография скрывает само присутствие тайны. Получается, криптография и стеганография – очень близкие науки. Одна прячет смысл сообщения, а другая – само сообщение. А метод, который мы с тобой сейчас изучаем, называется методом Фрэнсиса Бэкона.

Фрэнсис Бэкон – английский философ, историк, политик. Создал метод кодирования и сокрытия информации, из-за которого в дальнейшем произошло множество интересных случаев с поиском скрытых сообщений там, где их нет. Например, последователи этого метода пытались доказать, что все пьесы Уильяма Шекспира на самом деле были написаны Бэконом.

Ещё мы можем сделать вывод, что любое свойство, которое позволяет разделить буквы на два класса, можно использовать для сокрытия информации таким способом. Например, можно использовать заглавные и строчные буквы. Можно использовать чёрные и красные буквы. Можно, наконец, использовать не только обычное и жирное начертание, но и обычное и курсивное. Можно придумать ещё много всяких вариантов деления букв на два типа. К тому же при использовании нескольких способов деления вполне можно спрятать в одном и том же тексте несколько разных тайных сообщений. Например, одновременно использовать обычные и жирные буквы и заглавные и строчные буквы.

Рекомендую тебе потренироваться в кодировании и декодировании тайных сообщений таким способом. Это поможет хорошо понять изученный нами метод сокрытия информации. К тому же ты научишься свободно использовать двоичную систему счисления. Это в любом случае пригодится в будущем, кем бы тебе ни довелось стать.

Надо отметить, что профессиональный криптоаналитик всегда сможет обнаружить такие особенности текста, а потом сможет свободно декодировать тайное послание. На этот способ нельзя надеяться, если скрыть информацию надо от того, кто знает о таком методе стеганографии. Теперь ты и сам о нем знаешь, а значит, как только увидишь странное сочетание символов с разным начертанием, сразу подумаешь о таком способе. Это касается и зашифрованного послания, то есть если скрытый текст подвергся не только кодированию двоичной системой, но и шифрованию каким-либо методом. Но об этом мы поговорим на следующей неделе.

Неделя 4. Операция XOR

На этой неделе я хочу научить тебя одной математической операции, которую не проходят в школе. Ведь в школе как? Сначала на уроках математики говорят, что есть только четыре математических операции – сложение, вычитание, умножение и деление. Потом оказывается, что это не математические операции, а только арифметические, и в старших классах добавляют к ним ещё три новых, математических – возведение в степень, вычисление корня и логарифма. А вдруг и это ещё не всё?

Да, действительно, не всё. Математики придумали огромное количество операций, которые можно производить над различными математическими объектами. И те операции над числами, которые изучают в школе, – лишь капля в океане чистого математического знания. Но мы не будем изучать весь океан, а рассмотрим только одну новую математическую операцию (которая очень нравится всем криптографам и криптоаналитикам). Эта операция называется «XOR», или, по-русски, «Исключающее ИЛИ», и обозначается значком ?. Ее выполняют не над числами, а над битами. На прошлой неделе мы уже выяснили, что такое бит – это «0» или «1».