Свободная воля и законы природы

– А он займет у меня.

Чтобы дерево доказательства не ушло в бесконечность, оно должно обрываться в тех местах, где используется такое утверждение, которое в этой математической теории считается аксиомой. Поэтому дерево доказательства всегда конечно, и на его низших концах находятся только аксиомы этой теории.

Можно спросить: "Из чего же следует истинность аксиом?". А ни из чего. Любая теорема этой теории доказывается в предположении, что все аксиомы этой теории истинны. Все аксиомы данной теории не должны противоречить друг другу, и должны быть независимы друг от друга, т.е. ни одна из них не должна быть следствием остальных.

Какой во всем этом смысл, и для чего все это нужно, если истинность аксиом не доказывается? А вот какой. Теория – это аппарат, пригодный для использования в других теориях или в конечном счете на практике. Смысл такой же, как и в любом разделении труда. Если кто-то исследует свойства некоторого конкретного класса объектов, и если он установит, что для этих объектов истинны утверждения аксиом какой-то уже разработанной абстрактной теории (как он это установит – это уже его проблемы), то он может без риска ошибиться использовать любую теорему этой теории по отношению к своим конкретным объектам. А формулировать и доказывать эти теоремы непосредственно для конкретных объектов было бы для него очень трудной, а может быть и практически невыполнимой задачей.

Так, например, тригонометрия и теория логарифмов очень облегчают жизнь мореплавателям. Дифференциальное и интегральное исчисление очень помогают физикам и инженерам, и т.д. Или взять теорию графов, т.е. объектов, имеющих некоторое количество точек (вершин), и некоторое количество соединяющих их линий (ребер). Допустим, оптовая торговая фирма занимается поставками товаров. Ее клиентов можно считать вершинами графа, а транспортные пути между ними – ребрами. Задача состоит в том, чтобы за минимальное время поставить товары максимальному количеству клиентов (т.н. "Задача коммивояжера"). Если клиентов много, а транспортная сеть достаточно сложная, применение теории графов дает хорошие результаты.

Так что смысл построения абстрактной теории примерно тот же, что и в производстве станков (и вообще инструментов). Сам станок не имеет потребительных свойств: не годится ни в пищу, ни в качестве одежды, жилья, и т.п. Но может использоваться для производства предметов, имеющих потребительные свойства.

7.3.

––

Коммутативность умножения

––

Зная, что А+В=В+А, очень легко доказать, что А*В=В*А. А*В – это сумма А множеств по В единиц в каждом.

b(1) + b(2) + b(3) + ........................ + b(A) = А*В

В каждом из множеств b(k) содержится В единиц. Возьмем из каждого множества b(k) по одной единице, и сложим в одно множество а(1). Очевидно, что в нем будет А единиц. Затем также сконструируем множества а(2), а(3), и т.д. Всего получится столько множеств а(m), сколько единиц в одном множестве b(k), т.е. ровно В множеств по А единиц в каждом. Это как раз равно В*А. Значит, А*В=В*А.

7.4.

––

Коммутативность сложения

––

Но как доказать, что А+В=В+А (коммутативность сложения)? С первого взгляда кажется, что очень просто. Ведь сложить А и В, значит свалить в одну кучу все единицы множеств А и В, и не все ли равно, в каком порядке это сделать? Вот, например, на столе лежат А спичек и В спичек. Если смотреть слева, то получится А+В, а если справа, то В+А, а ведь от этого сумма не зависит, можно проверить, не отходя от стола. И все-таки остается сомнение. В данном случае все ясно, а в других? Всегда ли результат не зависит от порядка, в котором пересчитываются элементы множества? Например, если зайти в большой лес, пройти его из одного конца до другого и пересчитать все деревья, а потом повернуть назад и снова пересчитать в обратном порядке, то результаты вряд ли сойдутся. Конечно, можно списать это на ошибки в подсчете, ну, там, после 18 сразу пошло 20, или после 35 сразу перескочил на 46, какое-то дерево пропустил, или наоборот, посчитал 2 раза, и т.п. Но все же, нельзя ли доказать убедительнее? Попробую.

Во-первых, нужно взять коробку спичек, и с их помощью составить таблицу сложения для чисел, каждое из которых меньше десяти. Убедиться, что в этих пределах всегда А+В=В+А. Дальше рассмотрим суммы А+В и В+А, записав эти числа в десятичной системе счисления:

_____аk________a3_a2_a1_a0__________bm___________b3_b2_b1_b0

_+___________________________и____+

__bm___________b3_b2_b1_b0_____________аk________a3_a2_a1_a0

____________________________________________________________

_=_____________c3_c2_c1_c0________=______________d3_d2_d1_d0

Все а,b,c,d меньше десяти.

Складываем справа налево поразрядно.

а0+b0=b0+a0 Это я проверил на спичках. Значит, c0=d0 . Если a0+b0 > 9 , то единица прибавится к следующему разряду.

В следующем разряде a1+b1=b1+a1 , это тоже проверено на спичках. Если из 0-го разряда был перенос единицы, то тогда a1+b1+1=b1+a1+1 , все равно это верно, т.к. если a1+b1=х , то и b1+a1=х , х+1=х+1 , значит c1=d1 .

И т.д. справа налево. В следующий разряд всегда будет переноситься 1 или ничего. Ясно, что все десятичные цифры суммы А+В совпадут с десятичными цифрами суммы В+А .

Кажется, уже все ясно. И все-таки ощущается какая-то смутная неудовлетворенность. Все равно при записи числа цифрами в десятичной системе неявно предполагается, что число элементов множества не зависит от порядка, в котором пересчитываются эти элементы. Хотя это достаточно очевидно и можно принять за аксиому, но с другой стороны, это слишком примитивный подход. Если как попало вводить новые аксиомы, их может набраться миллион, и многие можно будет доказывать исходя из других.

Ломал, ломал голову – ничего не могу придумать. Помчался к Коле К., все-таки профессор-математик. Залетаю к Коле:

– Как доказать, что А+В=B+А, хоть общая идея, какой тут подход?!

Коля хотя и не внес ясности ("Основания арифметики" – не его епархия, там свои спецы), но отослал к литературе. Прибегаю в библиотеку, открываю книгу: Е-мое! Оказывается, все очень просто, а сам бы в жизни не додумался.

Вот одно из возможных доказательств.

Сначала нужно сформулировать подходящие аксиомы.

Аксиома (1): Если к единице (т.е. числу 1) последовательно прибавлять единицу

1+1=2

2+1=3

3+1=4 и т.д.,

то таким способом можно получить любое натуральное число, ни одно натуральное число не будет пропущено.

Аксиома (2): Если к обеим частям равенства прибавить одно и то же число, то равенство не нарушится. Например:

если A=B

то A+1=B+1

и вообще A+C=B+C

Аксиома (3): Допустим, мы имеем сумму

A+B=S

Если к одному из слагаемых, и неважно к какому, первому или второму, прибавить единицу, то и сумма увеличится на единицу, т.е.

(A+1)+B=S+1

A+(B+1)=S+1

Эти три аксиомы очевидны даже для людей далеких от математики, и их уже достаточно для доказательства теоремы A+B=B+A.