Готовимся к ЕГЭ по математике. Уравнения и неравенства с модулем

Раскрывая знак модуля на интервале [2; ? , получаем выражение для функции в следующем виде:

y = x (x + 2), или

y = x

+ 2x .

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

при x = 0 получаем y = 0,

при y = 0 получаем x (x + 2) = 0. Отсюда x = 0 либо x = 2.

Получаем 2 точки, принадлежащие графику функции: (0; 0), (2; 0).

Найдем координаты вершины параболы. Как известно из свойств квадратного трехчлена, если он имеет 2 различных действительных корня, абсцисса вершины лежит посредине между точками пересечения параболы с осью x.

Следовательно, абсцисса вершины параболы равна 1. Ордината вершины равна 1(1 + 2) = 1. Итак, вершиной параболы является точка с координатами (1; 1). В этой точке функция имеет локальный минимум.

Нам нужна только та часть графика, которая соответствует значениям x 2. На рис. 2.1 схематично построен график параболы. Для наглядности та часть параболы, которая не входит в график, показана цветным пунктиром.

Рис. 2.1. Часть графика функции при x 2

2) x + 2 < 0, т.е. x < 2 .

Раскрывая знак модуля на интервале (?; 2 , получаем выражение для функции в виде:

y = x (x + 2), или

y = x

2x .

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Точки пересечения этой параболы с осью абсцисс: x = 0 (не входит в рассматриваемую область) и x = 2. Построив схематично эту часть параболы, получаем график, изображенный на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Построение графика функции с модулем

Обратим внимание на следующие особенности построенной функции:

1) точки (2; 0) и (1; 1) являются точками экстремума, но на каком-либо отрезке, например,

[3; 2]

экстремум (минимум и максимум) может достигаться совсем в других точках;

2) в точке (2; 0) линия графика имеет излом; это означает, что рассматриваемая функция не имеет производной (не дифференцируема) в этой точке.

Вы можете посмотреть материал этого параграфа на моем канале в Дзене:

https://clck.ru/MNv6L (https://clck.ru/MNv6L)

Нахождение экстремума функции на отрезке рассмотрено на моем канале в You Tube:

https://youtu.be/_MYuZfodf4M (https://youtu.be/_MYuZfodf4M)

https://youtu.be/G7ubC5igFxo (https://youtu.be/G7ubC5igFxo)      

§3. Неравенства с модулем

Рассмотрим решение неравенств с модулем.

В качестве примера возьмем следующее неравенство:

(3.1)

Найдем точки, в которых выражение под знаком модуля меняет знак. Для этого приравняем это выражение к 0:

x

+ 5x + 7 = 0 .      (3.2)

В данном случае мы видим, что дискриминант квадратного трехчлена , равный 25 – 28 = -3, отрицателен. Это означает, что решений у данного уравнения нет.

Проиллюстрируем данный вывод графически. Графиком соответствующего квадратного трехчлена будет парабола, ветви которой направлены вверх и у которой нет пересечений с осью абсцисс. Схематично этот график можно изобразить следующим образом (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Схематичный вид графика квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом

Из графика понятно, что такой квадратный трехчлен при любом значении x будет больше 0. Следовательно, мы можем снять знак модуля в неравенстве (3.1). В результате получаем неравенство:

x

+ 5x + 7 > 3.      (3.3)

Перенесем все члены неравенства в его левую часть и решим полученное неравенство

x

+ 5x + 4 > 0.      (3.4)

Дискриминант этого неравенства больше 0. Это означает, что соответствующий квадратный трехчлен имеет 2 корня, которые легко найти по теореме Виета: x

= -4, x

= -1.

Если применение теоремы Виета вызывает затруднения, то просто применяем стандартный способ нахождения корней через вычисление дискриминанта квадратного трехчлена.