Диверсификация инвестиционного портфеля. Теория Марковица-Шарпа

= 0.733, то получим колебания доходности портфеля еще меньше. На рис. 11 изменение доходности такого оптимального портфеля показана кривой красного цвета.

Если бы в данном примере у нас была бы точная антикорреляция (Corr

= -1), то мы получили бы не кривую линию красного цвета, а прямую горизонтальную линию на уровне доходности <R>

= W

<R>

+ W

<R>

= 0.027. Но наш пример более реалистичен, и, как было сказано выше, коэффициент корреляции у нас не равен точно минус единице, а только близок к минус единице (Corr = -0.91).

Поэтому оптимальный портфель с минимальным риском у нас не имеет нулевого риска. Но его риск очень маленький: S

= 0.057. Это меньше, чем риск наивного портфеля с одинаковыми весами, который, как было уже показано выше, равен S

= 0.070.

1.2.3. Пример с тремя активами

На примере портфеля с двумя активами мы всё так очень подробно рассмотрели для того, чтобы читатель понимал теорию Марковица на интуитивном уровне. Далее считаем, что интуитивно всё уже понятно, поэтому дальнейшее рассмотрение проведем уже не так подробно.

Если активов в портфеле будет уже не 2, а 3, то всевозможные портфели с разными весами этих активов будут располагаться уже не на кривой линии, а на некоторой площади на плоскости "Риск-Доходность".

Добавим к активам A и B из нашего синтетического примера еще третий актив C со средней доходностью <R>

= 0.0752 и риском S

= 0.092.

1.2.3.1. Все коэффициенты корреляции равны единице

Если все 3 актива максимально коррелируют друг с другом с парными коэффициентами корреляции равными единице (Corr

= Corr

= Corr

= +1), то на графике «Риск-Доходность» все возможные портфели располагаются внутри треугольника ABC, как показано на рис. 12. На рисунке эти точки внутри треугольника показаны серым цветом.

Отрезок AB соответствует таким портфелям, когда актив C имеет нулевой вес W

= 0. Этот случай мы рассматривали в предыдущем разделе. Аналогично, отрезок BC соответствует таким портфелям, когда актив A имеет нулевой вес W

= 0. И, наконец, отрезок CA соответствует таким портфелям, когда актив B имеет нулевой вес W

= 0.

Серые точки внутри треугольника ABC соответствуют ситуации, когда все 3 веса отличаются от нуля. В центре серого треугольника находится портфель с равными весами активов: W

= W

= W

= 1/3.

Рис. 12. График «Риск-Доходность» для трех активов.

1.2.3.2. Все коэффициенты корреляции меньше единицы

А если все три коэффициента корреляции меньше единицы (Corr

< 1, Corr

< 1 и Corr

< 1), то зона всех возможных портфелей на графике «Риск-Доходность» сдвигается влево в сторону уменьшения риска. На рис. 12 показан пример такой зоны для таких портфелей. Эта зона закрашена светло-голубым цветом. Эта область ограничена тремя кривыми линиями, которые на рисунке показаны голубым цветом.

Здесь важно понимать, что дуга AB, это теперь уже не те дуги AB, которые мы видели на рис. 5. В формировании самой крайней левой дуги, в общем случае, принимают участие все 3 актива, а не только 2 самых менее рискованных активов A и B.

В общем случае, у самого наименее рискованного портфеля Z на рис. 12 все три весовых коэффициента отличаются от нуля (W

? 0, W

? 0 и W

? 0). При этом вес самого рискованного актива W

в портфеле Z может быть достаточно большим, если активы A и B сильнее коррелируют друг с другом, чем они по отдельности коррелируют с активом C, то есть Corr

> Corr

и Corr

> Corr

.

То есть для уменьшения риска портфеля часто бывает более эффективно взять самые большие весовые коэффициенты не у самых менее рисковых активов, а у тех активов, которые меньше коррелируют и/или больше антикоррелируют с другими активами портфеля. И эта задача нахождения оптимальных долей активов для трех активов становится уже очень нетривиальной. В общем случае эта математическая задача уже не решается в Экселе. В разделе 4 мы познакомимся с одним онлайновым инструментом, который решает эту задачу.

1.2.3.3. Эффективная Граница

Задача формирования хорошего инвестиционного портфеля из трех активов A, B и C состоит в том, чтобы найти такие весовые коэффициенты W

W