Как не ошибаться. Сила математического мышления

Вальд закончил обучение в середине 30-х годов ХХ столетия, когда Австрия уже находилась в состоянии глубокого экономического спада. Как у иностранца у Вальда не было шансов получить в Вене должность профессора, но его спасло предложение, поступившее от Оскара Моргенштерна. Впоследствии Моргенштерн иммигрирует в Соединенные Штаты Америки и будет участвовать в создании теории игр, а в 1933 году он, будучи директором Австрийского института экономических исследований, нанял Вальда для выполнения элементарных математических задач. Согласие на эту работу – хотя ему и назначили совсем небольшую оплату – оказалось весьма умным решением. В дальнейшем благодаря полученному опыту в области экономики Вальд получил предложение войти в комиссию Коулза – экономической организации, которая в то время находилась в Колорадо-Спрингс. Несмотря на ухудшающуюся политическую ситуацию, Вальд не хотел делать шаг, который навсегда разлучил бы его с чистой математикой. Но затем нацисты захватили Австрию, что помогло Вальду сделать окончательный выбор. После нескольких месяцев работы в Колорадо он получил предложение занять профессорскую должность в Колумбийском университете. Вальд снова упаковал вещи и переехал в Нью-Йорк.

Именно там Абрахам Вальд встретил войну.

Группа статистических исследований (Statistical Research Group; далее по тексту – SRG)[4 - Исторические данные о SRG взяты главным образом из следующего источника: W. Allen Wallis. The Statistical Research Group, 1942–1945 // Journal of the American Statistical Association, 1980, June, 75, no 370, p. 320–330.], в которой Вальд работал на протяжении большей части Второй мировой войны, выполняла секретную программу; ее цель состояла в том, чтобы собрать крупнейших американских специалистов по статистике и использовать их возможности для решения военных задач. Это напоминало Манхэттенский проект, только в качестве оружия, разработкой которого занималась SRG, выступали уравнения, а не взрывчатые вещества. Кроме того, SRG располагалась действительно на Манхэттене, в районе Морнингсайд-Хайтс, в доме 401 на Западной 118-й улице – всего в одном квартале от Колумбийского университета. Сейчас в этом доме находятся квартиры профессоров Колумбийского университета и несколько кабинетов врачей, но в 1943 году это был живой и блестящий мозговой центр военной математики. В одном из помещений располагалась Группа прикладной математики Колумбийского университета; десятки молодых женщин корпели над калькуляторами Marchant, рассчитывая формулы для оптимальной траектории движения истребителя, позволявшей ему постоянно держать вражеский самолет на прицеле. В другом помещении команда исследователей Принстонского университета разрабатывала схемы стратегических бомбардировок. А по соседству группа ученых Колумбийского университета работала над созданием атомной бомбы.

Однако SRG была самой сильной и, по большому счету, самой влиятельной из всех этих групп. В SRG царила атмосфера интеллектуальной открытости и интенсивной научной мысли – все работали с ощущением общей цели, которое возникает только при решении задач особой важности. «Когда мы давали рекомендации, – писал руководитель SRG Уилсон Аллен Уоллис, – их использовали. Пулеметы истребителей, вступавших в бой, были снаряжены согласно рекомендациям Джека Вулфовица[5 - Отец Пола [Пол Вулфовиц – американский политик, президент Всемирного банка (2005–2007). Прим. М. Г.].] по поводу того, как смешивать боеприпасы разных типов, – и летчики либо возвращались, либо нет. Топливо ракет, которые запускали самолеты военно-морских сил, проходило проверку в соответствии со схемой выборочного контроля Эйба Гиршика – и эти ракеты либо взрывались и уничтожали наши собственные самолеты и наших летчиков, либо поражали цель»[6 - W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 322.].

Математический талант членов группы соответствовал важности задачи. По словам Уоллиса, «как с точки зрения количества, так и с точки зрения качества SRG была самой выдающейся группой специалистов по статистике из всех когда-либо созданных»[7 - W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 322.]. В группе работали: Фредерик Мостеллер – впоследствии основатель факультета статистики Гарвардского университета; Леонард Джимми Сэвидж[8 - Сэвидж был почти слепым и видел только уголком одного глаза. Как-то, чтобы доказать какую-то свою идею об освоении Арктики, он целых полгода питался одним пеммиканом [мясной концентрат; пища индейцев Северной Америки и основной мясной продукт в арктических и антарктических экспедициях начала XX века. Прим. М. Г.]. Просто подумал, что об этом стоит упомянуть.] – первопроходец теории принятия решений и большой приверженец области математики, позже ставшей известной как байесовская статистика. В SRG время от времени заглядывал Норберт Винер – математик Массачусетского технологического института, создатель кибернетики. Это был коллектив ученых, в котором почетное четвертое место среди самых толковых занимал Милтон Фридман – будущий лауреат Нобелевской премии по экономике.

А первое место по праву закрепилось за Абрахамом Вальдом. Вальд – преподаватель Аллена Уоллиса в Колумбийском университете – стал для всей группы своего рода высочайшим математическим авторитетом. Впрочем, как «подданный враждебного государства» с юридической точки зрения Вальд не имел права видеть секретные отчеты – те отчеты, которые он собственноручно составлял. В SRG шутили, что секретари обязаны буквально вырывать из-под его пера каждый листок бумаги тут же, как только он его допишет[9 - W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 329.]. При этом Вальд практически не вписывался в общую направленность группы: он был очень далек от решения прикладных задач, поскольку его всегда интересовала лишь абстрактная математика. Однако в данном случае верх взяла его личная заинтересованность: посвятить свой талант антифашистской борьбе. Так или иначе, но Вальда сочли именно тем человеком, которого лучше было иметь на своей стороне – тем более, когда возникала необходимость перевести расплывчатые мысли на язык точных математических формулировок.

* * *

Задача заключалась в следующем. Вы не хотите, чтобы вражеские истребители сбивали ваши самолеты, поэтому покрываете их броней. Но броня делает самолет более тяжелым, что снижает его маневренность и увеличивает расход топлива. Если на самолете слишком много брони – это проблема; если брони слишком мало – это тоже проблема. Где-то в интервале лежит оптимальное решение. Чтобы вычислить этот идеальный вариант, вы собираете под крышей нью-йоркской квартиры команду лучших математиков[10 - Я узнал о Вальде и проблеме крепкой авиационной брони из книги Говарда Вейнера: Howard Wainer. Uneducated Guesses: Using Evidence to Uncover Misguided Education Policies. NJ: Princeton University Press, 2011. Автор использует идеи Вальда для анализа таких же сложных и неполных статистических данных, полученных в ходе изучения сферы образования.].

Военные представили на рассмотрение SRG данные, которые, по их мнению, могли бы помочь в решении задачи. Когда американские самолеты выходили из воздушных боев над Европой, они были покрыты дырами от пуль. Однако повреждения распределялись по корпусу самолета не равномерно. Пробоин на фюзеляже было больше, чем на двигателе.

Представители командования увидели возможность повысить эффективность использования самолетов, обеспечив такой же уровень защиты в его уязвимых местах, для этого требовалось правильно распределить количество брони, делая ее слой толще там, где самолет получает больше всего пробоин. Но сколько именно брони следует устанавливать на этих частях самолета? С просьбой найти нужное решение военные обратились к Вальду. И получили совсем неожиданный ответ.

Броню следует укреплять не там, сказал Вальд, где больше всего пробоин, а там, где их нет, то есть на двигателе.

Вальд задался вопросом: где находятся недостающие пробоины? Именно в этом проявилась его проницательность – в простоте поставленной задачи. Речь шла о тех самых отверстиях от поражающих средств – пробоинах, которые покрывали бы кожух двигателя, если повреждения были бы распределены равномерно по всему самолету. В ответе на свой вопрос Вальд не сомневался ни на йоту. Причина, почему на двигателях уцелевших самолетах было меньше повреждений, только одна: в случае прямого попадания в двигатель самолет просто не возвращался из боя. Однако многие самолеты прилетали на базу с фюзеляжем, похожим на швейцарский сыр, – убедительный довод в пользу того, что корпус можно (а значит, и нужно) оставить без дополнительной брони. В военном госпитале вы встретите гораздо больше раненных не в грудь, а в ноги. Но причина не в том, что люди не получают ранений в грудь – просто после таких ранений они, как правило, не выживают.

Вот старый математический прием, который вносит полную ясность в картину происходящего: присвоить некоторым переменным значение 0. В данном случае в качестве такой переменной выступает вероятность того, что самолет, получивший прямое попадание в двигатель, может остаться в воздухе. Нулевое значение этой вероятности означает, что единственное попадание в двигатель неизбежно приводит к падению самолета. Как выглядели бы данные о возвращающихся самолетах в таком случае? У вас есть самолеты, вернувшиеся с дырами от пуль в крыльях, фюзеляже, носовой части, но нет ни одного самолета с пробоинами в двигателе. Военный аналитик может объяснить этот факт двумя причинами: либо немецкие орудия попадают во все части самолета, кроме одной, либо двигатель – это самое уязвимое место. Обе причины объясняют данные о повреждениях на уцелевших самолетах, но второе объяснение гораздо логичнее. Стало быть, броню следует укреплять там, где нет пулевых отверстий.

Выводы Вальда были сразу приняты к сведению, более того, ими руководствовались во время военных действий в Корее и во Вьетнаме[11 - См.:Marc Mangel, Francisco J. Samaniego. Abraham Wald’s Work on Aircraft Survivability // Journal of the American Statistical Association, 1984, June, 79, no. 386, p. 259–267.]. Я не могу точно сказать, сколько американских самолетов спасли его рекомендации, хотя это наверняка известно тем преемникам SRG в современных вооруженных силах, которые занимаются сбором и обработкой данных. Высшие чины американских военных ведомств всегда отдавали себе отчет, что страны побеждают в войнах не потому, что они храбрее противника или более независимы или им чуть больше благоволит Бог. Как правило, победителем становится тот, у кого сбивают на 5 % меньше самолетов, или кто использует на 5 % меньше топлива, или кто обеспечивает пехоте на 5 % более качественное питание[12 - Отдельный интересный вопрос, как измерять качество питания в процентах. Прим. М. Г.] при 95 % затрат. О таких вещах не принято говорить в военных фильмах, но именно к ним сводятся сами войны. И на каждом этапе этого пути присутствует математика.

* * *

Почему Абрахам Вальд увидел то, чего не смогли увидеть офицеры, обладающие более профессиональными знаниями и пониманием сути воздушного боя? Причина в аналитическом складе ума Вальда – так называемом математическом мышлении. Математик всегда ставит такие вопросы: «Из каких предположений вы исходите? Обоснованы ли эти предположения?»[13 - Физик Ричард Фейнман утверждал, что математики не ставят таких вопросов: «…Я всегда выигрывал. Если я угадывал – здорово. Если не угадывал, то всегда мог найти в их упрощении что-то, что они упускали из виду» (Р. Ф. Фейнман. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! / Пер. с англ. Н. А. Зубченко, О. Л. Тиходеевой, М. Шифмана. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. С. 39). Прим. М. Г.] Порой это вызывает раздражение. Однако такой подход может быть весьма продуктивным. В случае с авиационной броней офицеры, сами того не замечая, исходили из предположения, что вернувшиеся самолеты представляют собой случайную выборку всех самолетов. Если действительно так и было бы, мы могли бы, проанализировав распределение пробоин только на уцелевших самолетах, сделать вывод об их распределении на всех машинах. Но, как только вы осознаете, что в своих расчетах опираетесь на такое предположение, вам сразу станет понятно, насколько оно ошибочно: нет никаких оснований ожидать равной вероятности выживания всех самолетов независимо от того, в какую часть машины попадает огнестрельное оружие. Мы вернемся к этой теме в главе пятнадцатой, где в более точных математических терминах выразим мысль о существовании зависимости между уровнем выживаемости самолетов в бою и местоположением пробоин.

Еще одно неоспоримое достоинство Вальда – его особая склонность к абстракции. Вулфовиц, учившийся у Вальда в Колумбийском университете, писал, что ученый отдавал предпочтение задачам «самого абстрактного рода», а также что он «всегда охотно говорил о математике, но был безразличен к ее популяризации и практическому применению»[14 - См.:Jacob Wolfowitz. Abraham Wald, 1902–1950 // Annals of Mathematical Statistics, 1952, Mar. 23, no. 1, p. 1–13.].

Особенности характера Вальда действительно мешали ему сосредоточиться на прикладных задачах. Ему было в тягость разбираться в деталях конструкции самолетов и оружия, поэтому он анализировал математические основы происходящего, связывая все в единое целое. Порой такой подход приводит к игнорированию действительно важных аспектов проблемы. Правда, он дает возможность увидеть общую схему, лежащую в основе различных задач, но на поверхности выглядит совсем по-другому. Это позволяет обрести весомый опыт даже в тех областях, в которых на первый взгляд у вас не может быть никаких практических знаний.

Глубинную структуру задачи с пробоинами в авиационной броне математики обозначают термином «систематическая ошибка выжившего». Такая погрешность часто возникает в самых разных ситуациях[15 - Например, истории о том, что дельфины выталкивают тонущих людей на берег. На самом деле дельфины поддерживают тонущего на плаву, подталкивая в произвольных направлениях (что естественно для водных млекопитающих), но только выжившие – те, кого подтолкнули к берегу, – смогли рассказать о встрече с ними. Прим. М. Г.]. Зная о существовании систематической ошибки выжившего – как знал о ней Абрахам Вальд, – вы будете готовы к тому, чтобы обнаружить ее, где бы она ни скрывалась.

Возьмем в качестве примера взаимные фонды[16 - Взаимный фонд, или фонд взаимных инвестиций (mutual fund), – портфель акций, отобранных и приобретенных профессиональными финансистами на вложения большого числа мелких вкладчиков. Прим. М. Г.]. Оценка их эффективности – это именно та область, в которой вам хотелось бы не допустить ни малейшей ошибки. Изменение годового темпа роста стоимости активов фонда на 1 % может составить разницу между ценным инвестиционным активом и убыточным инвестиционным инструментом. На первый взгляд может показаться, что к первому типу инвестиционных активов относятся фонды категории Large Blend (смешанные фонды акций крупных компаний) по версии агентства Моrningstar, показывающие примерно такой же рост, что и индекс S&P 500. За период с 1995 по 2004 год их рост составил 178,4 %, в среднем по целых 10,8 % в год[17 - Справедливости ради следует отметить, что сам индекс S&P 500 показал еще более высокий рост – 212,5 % за тот же период.]. Похоже, если в то время вы могли бы вложить деньги в те фонды, это принесло бы вам большую прибыль – не так ли?

Так вот, на самом деле все обстоит иначе. Компания Savant Capital в 2006 году провела исследование[18 - Amy L. Barrett, Brent R. Brodeski. Survivor Bias and Improper Measurement: How the Mutual Fund Industry Inflates Actively Managed Fund Performance (http://www.etf.com/docs/sbiasstudy.pdf (http://www.etf.com/docs/sbiasstudy.pdf)).], результаты которого не только проливают свет на эти данные, но и действуют несколько отрезвляюще. Предлагаю подумать, как формируются рейтинги Morningstar. Например, в 2004 году агентство проанализировало темпы роста всех фондов категории Large Blend за прошедшие десять лет.

Но здесь кое-чего не хватает, а именно: фондов, не вошедших в эту категорию. Взаимные фонды не живут вечно. Некоторые из них процветают, тогда как другие прекращают свое существование. К последним, как правило, относятся фонды, не получающие прибыль. Следовательно, оценивать рост стоимости активов взаимных фондов за десятилетний период по данным о фондах, еще существовавших к концу этого периода, – все равно что оценивать эффективность маневров во время воздушного боя, пользуясь методом подсчета количества пробоин в вернувшихся самолетах. Но вдруг мы не обнаружим ни одного самолета, у которого было бы больше одной пробоины? О чем это говорило бы? Конечно, не об умении пилотов мастерски уклоняться от вражеского огня. Скорее всего, это означало бы, что самолеты, получившие два прямых попадания, охваченные огнем, упали на землю.

Результаты исследования компании Savant показывают: если наряду с выжившими фондами включить в расчеты эффективность фондов, прекративших свое существование, рентабельность инвестиций упала бы до 134,5 %, то есть до 8,9 % в год. Показатель гораздо более скромный, не правда ли? Этот вывод подтвердили результаты одного из последних исследований. Журнал Review of Finance провел в 2011 году комплексное исследование, охватившее около пяти тысяч фондов[19 - Martin Rohleder, Hendrik Scholz, Marco Wilkens. Survivorship Bias and Mutual Fund Performance: Relevance, Significance, and Methodical Differences // Review of Finance, 2011, vol. 15, no 2, p. 441–474 – см. таблицы. Мы перевели месячную избыточную доходность в годовую избыточную доходность, поэтому цифры в нашем тексте не совпадают с данными, приведенными в статье.]. По его результатам было установлено, что избыточная доходность выживших фондов (всего 2641 фонд) оказалась на 20 % выше того же показателя, рассчитанного с учетом данных о фондах, потерпевших неудачу. Возможно, эффект систематической ошибки выжившего удивил инвесторов, но для Абрахама Вальда он, по всей вероятности, не стал бы неожиданностью.

Математика есть продолжение здравого смысла иными средствами

В этот момент мой юный собеседник прервет мой рассказ вполне обоснованным вопросом: ну и где здесь математика? Да, Вальд был математиком, и вне всяких сомнений, его решение проблемы надежности авиационной брони гениально. Но при чем здесь математика? Ни тригонометрических тождеств, ни интегралов, ни неравенств, ни формул.

Прежде всего следует отметить, что математические формулы все-таки были. Я опустил их, рассказывая историю Вальда, поскольку это только пролог. Во введении к книге о размножении человека, рассчитанной на десятилетних ребят, вряд ли стоит во всех подробностях рассказывать, как детки попадают в мамин живот. Нет, мы напишем что-нибудь в таком роде: «В природе все меняется. Зимой деревья сбрасывают листья, весной снова цветут; обычная гусеница прячется в свой кокон и выходит из него, превратившись в прекрасную бабочку. Ты тоже часть природы, поэтому…»

Мы с вами сейчас находимся именно в такой части книги.

Но мы взрослые люди, поэтому давайте на секунду уйдем от расплывчатых формулировок и посмотрим, как выглядит типичная страница реального отчета Вальда[20 - Abraham Wald. Method of Estimating Plane Vulnerability Based on Damage of Survivors. Alexandria, VA: Center for Naval Analyses, repr., 1980, July, CRC 432.].

…можно вычислить нижний предел Q

. Мы предполагаем, что разность между значениями q

 и q

находится в определенных пределах. Следовательно, можно вычислить верхний и нижний пределы Q

.

Предположим:

?

q

 ? q

 ? ?

q

где ?

 < ?

 < 1, таковы, что выполнено:

(A)

Точное решение слишком громоздко, но можно рассчитать приближенные значения верхнего и нижнего пределов Q

 для i < n посредством следующей процедуры. В расчетах используется такой набор гипотетических данных:

Условие А удовлетворено, поскольку подстановка дает нам значение

что меньше, чем

1 – a

 = 0,22.

НИЖНИЙ ПРЕДЕЛ Q